Реферат на тему: Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Введение

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

где F(t) - непрерывная периодическая матрица с периодом :

Пусть z1(t), , zn(t) - фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями

где еj j1, , jn (см. примечание 1). Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z1(t ), , zn(t ) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций zj(t ) будет линейной комбинацией zк(t) (к 1, , n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2), поэтому

где сjк (j, к 1, , n) - постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

Z(t ) Z(t)С, (3)

где Z(t) - фундаментальная матрица решений zj(t) (j 1, , n), а С (сjк) - постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Полагая в равенстве (3) t 0, получим Z() С.

Таким образом, Z(t ) Z(t)Z(). (4)

Матрица Z() называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно Z() 0. Собственные значения матрицы Z() называются мультипликаторами системы уравнений

Оглавление

- Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

- Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

- Примечания.

- Примеры.