Реферат на тему: Немного истории. Группы. Кольца. Поле. Конечное поле

Введение

Высшая алгебра изучает множества и определенные на них операции. Она занимает центральное место в современной математике. Велика также роль алгебры в приложениях. Этот реферат посвящен краткому введению в теорию основных алгебраических систем: групп, колец, полей. Следует также обратить внимание на построение конечных полей. Эти удивительные объекты, возникающие из чисто алгебраического рассмотрения, играют большую роль в современной комбинаторике и информатике. Наиболее важным, примером использования конечных полей для решения комбинаторной задачи прикладного характера, является теории кодов, исправляющих ошибки. Появились эти коды в середине прошлого века, когда для передачи секретных сообщений (скажем, приказов в войска) стала активно использоваться радиосвязь. Сообщения нужно было шифровать, а из-за помех при передаче возможны ошибки, которые могут сделать расшифровку невозможной или бессмысленной (или того хуже: осмысленной, но ошибочной). Чтобы повысить надежность сообщения, можно передать каждый символ несколько раз. Скажем, если при передаче азбукой Морзе передавать каждую точку трижды и каждое тире трижды, то одна ошибка в передаче символа не мешает восстановлению исходного сообщения. Но при таком способе кодирования передаваемых символов длина сообщения (и время передачи) увеличивается в три раза. Естественно возникает вопрос: как кодировать сообщение, чтобы сохранилась устойчивость к ошибкам и не сильно возрастала длина сообщения. Это и есть задача о построении кодов, исправляющих ошибки. Сравнительно легко можно показать, что существуют хорошие коды, в которых нужно использовать немного дополнительных символов. Но для практических нужд одной теоремы существования мало: нужны явные конструкции кодов. Кроме того, естественным практическим требованием является простота декодирования передаваемых сообщений. Удивительно, но вся теория построения хороших кодов оказывается тесно связанной с алгеброй. Изучив лишь самые основы этой науки, мы сможем построить только простейшие коды такого типа. Они, впрочем, оказываются весьма важными с практической точки зрения благодаря эффективным алгоритмам декодирования. Этот пример использования алгебры является весьма показательным. Очень часто в комбинаторике встречается именно такая ситуация: можно сравнительно легко доказать, что объ екты с некоторыми свойствами существуют (иногда даже, что почти все объекты удовлетворяют нужному свойству), но явно предъявить хотя бы один такой объект намного сложнее. И в очень многих случаях явные конструкции возникают из алгебры.

Оглавление

- Введение

- Немного истории

- Группы

- Кольца

- Поле

- Конечное поле Заключение

- Аннотированный список литературы

Заключение

В реферате рассмотрены: история возникновения, а также определения и свойства групп, колец и полей. Математические методы, используемые в криптографии, невозможно успешно освоить без знания этих алгебраических структур. Поэтому знания и умения работать с этими объектами применяются не только в дискретной математике, но и являются необходимым условием для подготовки специалистов в области защиты информации.

АННОТИРОВАННЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика 1961. 448 с.

Книга первая. Арифметика. Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений.

2. Аскольд Хованский. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. -- М.: Изд-во МЦНМО, 2008. - 296 с.