Магистерская диссертация на тему: Стохастические дифференциальные уравнения

Введение

Стохастические дифференциальные уравнения - это дифференциальное уравнение, в котором как минимум один член имеет стохастическую природу, т.е. представляют с собой случайный (стохастический) процесс. Соответственно и решения таких уравнений также являются стохастическими процессами.

В теории дифференциальных уравнений существует понятие сингулярно возмущенных уравнений. Сингулярно возмущенными называются уравнения с малыми параметрами при старших производных.

Пусть - решение системы одномерных стохастических дифференциальных уравнений

где W, w - винеровские процессы, согласованные с потоком - алгебр

Говорят, что измеримая функция Н:

- условию линейного роста по х, если существует константа К такая, что

- локальному условию Липшица по x, если для любого шара

Чтобы сформулировать теорему необходимо ввести условия, которые будут участвовать в теореме:

1. Функции

2. При любых принадлежит

3. Для любого N>0 существует константа такая, что

для всех

4. Начальное значение принадлежит области влияния корня

5. Существует β > 0 такое, что

Все условия описаны, перейдем к самой теореме. Пусть вышеописанные все условия выполнены, тогда для любого

Доказательство вышеописанной теоремы опирается на 2 основные идеи.

Первая идея состоит в том, чтобы установить с помощью условия №4 и результатом о регулярных возмущениях стохастических дифференциальных уравнений факт сближения с в некоторой точке , стремящейся к нулю при µ→0.

Вторая идея заключается в использовании устойчивости условия №3 для вывода оценки вероятности уклонения в равномерной метрике на отрезке .

При всем этом важную роль играют моментальные неравенства для линейных стохастических уравнений с отрицательным сносом.

Поговорим теперь о стохастических уравнениях с отрицательным сносом. Самый простой вариант, в котором предполагается существование производной и исходным является линейное дифференциальное неравенство является лемма Гронуолла-Беллмана. Фигурирующая в нем константа необязательно положительна.

Звучит эта лемма так: пусть y - абсолютно непрерывная функция, g - интегрируемая функция на [] и при почти всех t ∑ [] справедливо неравенство . Тогда при любом t ∑ [].

Лемма 2: Пусть V - решение обыкновенного дифференциального уравнения:

Тогда для любого t ∑ [] справедлива оценка:

Следующая лемма касается моментов решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с отрицательным сносом. Следует обратить внимание, что для уравнений, которые здесь рассматриваются величина допускает оценку, которая линейно зависит от длины отрезка.

Оглавление

- Выводы

- Список литературы

- Приложение