Реферат на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.

Введение

Кольцо целых комплексных чисел было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.

К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида , где - произвольные целые числа, а - является корнем уравнения На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: ; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце ; выяснил природу простых целых комплексных чисел.

Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде "Арифметические исследования", явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.

В выпускной работе были поставлены следующие цели:

1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.

2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.

3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.

Оглавление

- Введение. 2

- Делимость в кольце чисел гаусса

- Обратимые и союзные элементы

- Деление с остатком

- Нод. алгоритм евклида

- Основная теорема арифметики

- Простые числа гаусса

- Применение чисел гаусса

- Заключение. 23

Заключение

В данной работе была изучена теория делимости в кольце целых чисел Гаусса, а также природа простых гауссовых чисел. Эти вопросы изложены в первых двух главах.

В третей главе рассмотрены применения чисел Гаусса к решению известных классических задач, таких как:

- Вопрос о возможности представления натурального числа в виде суммы двух квадратов;

- Задача нахождения количества представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов;

- Нахождение общих решений неопределенного уравнения Пифагора;

а также к решению диафантова уравнения.

Также отмечу, что работа была выполнена без использования дополнительной литературы.