Магистерская диссертация на тему: Кривые второго порядка: окружность, парабола, гипербола и эллипс

Введение

в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведение х*у (степени складываем - получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: - урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; - уравнение гиперболы, - уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть - центр

окружности. R - радиус окружности. Пусть - произвольная точка окружности. Следовательно, = =

(1) - уравнение окружности радиуса R с центром в точке с координатами

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. е. - межфокусное расстояние эллипса.

Пусть - произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r1 + r2 = 2а, а > с. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

Умножим (2) на

Сложим уравнения (2) и (3):

Возведем (4) в квадрат:

Пусть

(5) - каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

- каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как

Эксцентриситетом эллипса е называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.

При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):

Из (3):

Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые называются директрисами эллипса.

- левая директриса,

- правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Оглавление

- Гипербола

- Парабола

- 4 Литература

Список литературы

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.- Мн.: ЧИУиП, 2006.- 67 с.