Реферат на тему: Прямоугольный потенциальный барьер. Кажущаяся парадоксальность туннельного эффекта

Введение

Туннельный эффект (туннелирование) - квантовый переход системы через область движения, запрещённую классической механикой. Типичный пример такого процесса- прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её полная энергия Е меньше высоты барьера (рис 1.1).

рис 1.1 Потенциальный барьер в одном измерении

Согласно классической теории частица может находиться только в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия V меньше её полной энергии Е. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы

всегда должна быть положительной величиной. В области V>Е - потенциальный барьер - импульс имеет мнимое значение и присутствие там частицы в рамках классической теории является совершенно недопустимым.

Поэтому, если две области пространства, для которых Е>V, отделены друг от друга потенциальным барьером, внутри которого V>Е, то по классической теории просачивание частицы из одной области в другую через потенциальный барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение импульса соответствует лишь экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Поскольку волновая функция внутри потенциального барьера в нуль не обращается, то вполне возможно и просачивание частицы сквозь потенциальный барьер. Для микрочастиц это явление может стать даже вполне наблюдаемым.

Туннельный эффект является специфическим лишь для волновой теории и не имеет какого-либо аналога в классической механике.

рис 1.2 Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

§1. Случай прямоугольного барьера

Определим прежде всего вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 1.2) в предположении, что энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера V0. Допустим, что частица движется в положительном направлении оси x. Волны де Бройля, соответствующие движению частицы, частично отразятся от барьера, а частично пройдут сквозь него и будут распространяться в области x>а (рис 1.2). В этой задаче мы должны найти прежде всего волновые функции, а затем на границах потенциального барьера "сшить" их, т.е. приравнять как сами волновые функции, так и их производные.

Решение уравнения Шредингера для каждой из 3-х областей имеет вид:

Здесь

(волновой вектор).

A1eikx и B1e-ikx характеризуют соответственно падающую и отраженную волны, A3eiк(x-а) - прошедшую, а B3e-iк(x-а) - волну, идущую из бесконечности в направлении противоположном падающей волны.

Поскольку последняя в нашем случае отсутствует, необходимо положить В3=0. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, под которым будем понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц:

Для определения потока частиц воспользуемся формулой:

Подставляя в эту формулу решение уравнения Шредингера (1.2) для коэффициента прозрачности D, находим:

Для определения коэффициента прохождения воспользуемся граничными условиями при x=а и x=0 и выразим сначала А2 и В2 через А3, учитывая, что χа>>1,

а затем А1 через А3:

Тогда для коэффициента прохождения (диффузии) D получаем выражение:

Где

Вводя величину , получаем:

где D0 порядка единицы.

рис 1.3 схема барьера произвольной, но достаточно гладкой формы

Если мы хотим обобщить формулу (1.9) на потенциальный барьер произвольной формы (рис 1.3), то соответствующую задачу лучше всего решать методом ВКБ.

При этом мы должны произвести замену

где координаты x1 (начало барьера) и x2 (конец барьера) находятся из условия

Тогда для коэффициента прохождения D через барьер произвольной формы получается выражение:

Движение частиц внутри потенциального барьера представляет собой типичное проявление волновых свойств микрочастиц, Поэтому оно должно в той или иной степени проявляться в любой волновой теории. В частности, в оптике этим аналогом может служить хорошо известное явление полного внутреннего отражения (рис 1.5), которое может наблюдаться в случае отражения света при сравнительно больших углах от оптически менее плотной среды.

Оглавление

- Введение

- Прямоугольный потенциальный барьер

- Кажущаяся парадоксальность туннельного эффекта

- Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия

- Контактная разность потенциалов Заключение

- Список литературы

Заключение

Туннельный эффект обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при температуре в десятки и сотни млн. градусов, а также в земных условиях в виде термоядерных взрывов.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, туннельный эффект приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии. Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Список литературы

1. Д. И. Блохинцев "Основы квантовой механики". - М.: Наука, 1976.

2. А. А. Соколов, И. М. Тернов "Квантовая механика и атомная физика". Учебн. пособие для физ.-мат. фак-тов пединститутов. М.: Просвещение, 423 с. с илл., 1970.

3. П. Эткинс "Кванты справочник концепций". - М.: Мир, 496 с., 1977.

4. Гоголинский К. "Орбитали зондовой микроскопии"/ К. Гоголинский, В. Решетов// Вокруг Света, М.: Вокруг света.- 2005. - №6. - с. 106-114.