Реферат на тему: Теорема ферма-эйлера. Доказательство Лагранжа

Введение

Единственность представления простого

числа в виде суммы двух квадратов 6

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух

квадратов 8

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11

ЛИТЕРАТУРА 12

ВВЕДЕНИЕ Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не все.

Оглавление

- Введение 3

- Теорема ферма-эйлера

- Доказательство Лагранжа

- Единственность представления простого

- числа в виде суммы двух квадратов

- КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух

- квадратов

- Представление числа в виде

- Заключение 11

- Литература 12

- ВВЕДЕНИЕ Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не все

- Пьер Ферма Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово ферматист, значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма 1601--1665, одному из самых светлых умов Франции. Ферма - человек удивительной судьбы один из величайших математиков всех времен, он не был, в современной терминологии, профессиональным математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь это иногда случается с людьми, и именно эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было еще математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми сын обработал архив отца и издал его.Я доказал много исключительно красивых теорем, - сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньше и меньше. И наконец, осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 324252. Можно описать все целочисленные решения уравнения x2y2z2. Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим вероятно в III веке нашей эры, во второй книге его трактата Арифметика до нас дошли 6 книг из 13. На полях около решения Диофанта Ферма написал Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат т. е. четвертую степень числа на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки. Иначе говоря, уравнение xnynzn при натуральном n2 в целых числах неразрешимо

- В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n4 это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма. Для n3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n а доказать ее только для них, меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В нашем веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100,000, но окончательное решение так и не было найдено

- В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100,000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков

- Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк

- И уже казалось, что эта проблема перейдет через новую грань веков, но все-таки пять лет тому назад английский математик Уайлс залатал последнюю дыру в своем доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году

- Мир признал Великая теорема Ферма доказана

- Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени - времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки математический анализ, аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности

Заключение

На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что "всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов".

В ту пору математических журналов еще не существовало, информацией обменивались в письмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.

Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.

Воздавая должное обоим великим ученым, мы называем эту теорему теоремой Ферма-Эйлера.

Список литературы

1. Бухштаб А.А. Теория чисел.-М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.