Дипломная работа на тему: Развитие понятия интеграла

Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Оглавление

- Введение.

- Развитие понятия интеграла.

- Проблема моментов.

- Интеграл Стилтьеса.

- Определение интеграла Стилтьеса.

- Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

- Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.

- Свойства интеграла Стилтьеса.

- Интегрирование по частям.

- Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.

- Вычисление интегралов Стилтьеса.

- Примеры.

- Теорема о среднем, оценки.

- Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.

- Примеры и дополнения.

- Применение интеграла Стилтьеса.

- Применение в теории вероятностей.

- Применение в квантовой механике.

- Заключение.

- Список литературы.

Заключение

Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно, как мы уже говорили в первой главе, в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интеграла Стилтьеса, отправляясь от разных задач. В теории цепных дробей применяли его сам Стилтьес и А.А. Марков, в теории R-интеграла - Кёниг, в теории чисел - Г.Ф. Вороной, в небесной механике - А.М. Ляпунов, в теории интегральных уравнений - Гильберт, Хеллингер, в теории линейных функционалов - Рисс. В дальнейшем разработкой интеграла занимались также У.Г. Юнг и Радон. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радон применял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений.

Список литературы

- Александров П.С., Колмогоров А. Введение в теорию функций действительного переменного. Изд.3-е, переработ. М. - Л., Гостехтеориздат., 1938г.

- Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы.М., "Наука".

- Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. - М., 1936, 216с.

- Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Государственное издательство физ. - мат. литературы, М.

- Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002. - 160с.

- Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Перевод с немецкого Г.П. Сафроновой. Под ред. И.П. Натансона. - М.: Государственное издательство физ. - мат. литературы, 1959г.

- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. - 6-е изд., испр. - М.: Наука, Главная редакция физ. - мат. Литературы, 1989. - 624 с.

- Леонтьева Т.А. и др. Задачи по теории функций действительного переменного: Учеб. Пособие по спец. "Математика"/ Панферов В.С., Серов В.С. - М.: Изд-во МГУ,