Магистерская диссертация на тему: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Введение

Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.

Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:

1. получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;

2. нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.

Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение

а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.

Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.

Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт - Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.

Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.

Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид

Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:

- метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,

- метод Чебышева получения ортогональных полиномов,

которые были положены в основу обобщенного метода Грамма - Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.

Оглавление

- Введение..3

- Система кривых Пирсона

- Дифференциальное уравнение Пирсона

- Основные типы кривых Пирсона

- Переходные типы кривых Пирсона

- Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей

- Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева

- Обобщение метода Грамма - Шарлье

- Весовые функции и кривые распределения вероятностей

- Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение

- Примеры нахождения кривых распределения вероятностей

- Алгоритм вычислений

- Заключение..47

- Литература...48

Заключение

В дипломной работе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей по заданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе было рассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы с помощью æ критерия Пирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры, соответствующие каждому типу.

Во второй главе был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональных полиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Было рассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределения вероятностей по обобщенному методу Грамма - Шарлье.

В третьей главе описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределения вероятностей по методу Пирсона.

Результаты дипломной работы могут представлять большое значение для решения многих практических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальным данным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1999

2. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948

3. Митропольский А.К. Техника статистических распределений. М.: издательство "Наука", 1971

4. Немчинов В.С. Полиномы Чебышева и математическая статистика. М.: издание Московской ордена Ленина сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева, 1946

5. Романовский В. И. Математическая статистика. Издательство Академии Наук УзССР, 1961

6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: издательство "Наука", 1976

7. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

8. Хотимский В. И. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). М.: Государственное статистическое издательство, 1959