Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 5.

1. Дана функция f(x) = (2x + 1)/(x - 3). Найдите предел функции f(x) при x стремящемся к 3.

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 3, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности точки x = 3. Найдем предел функции используя алгебраические преобразования:

f(x) = (2x + 1)/(x - 3)
= (2(x - 3) + 7)/(x - 3)
= (2x - 6 + 7)/(x - 3)
= (2x + 1)/(x - 3)

Так как в числителе и знаменателе есть линейные функции, то предел функции при x стремящемся к 3 можно найти, подставив 3 вместо x:

lim(x→3) f(x) = lim(x→3) (2x + 1)/(x - 3)
= (2·3 + 1)/(3 - 3)
= (6 + 1)/(0)
= 7/0

Исходя из данного выражения, предел функции f(x) при x стремящемся к 3 не существует, так как получается деление на ноль. Это означает, что функция становится неопределенной в точке x = 3.

2. Дана функция f(x) = sin(3x) / x. Найдите предел функции f(x) при x стремящемся к 0.

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 0, можно воспользоваться теоремой о пределе функции, содержащей элементарную функцию. Данная теорема гласит, что предел функции sin(x)/x при x стремящемся к 0 равен 1.

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к 0 будет равен:

lim(x→0) f(x) = lim(x→0) sin(3x) / x
= 3lim(x→0) sin(3x) / (3x)
= 3lim(x→0) sin(z) / z (где z = 3x)
= 3·1 (так как по теореме о пределе sin(z)/z при z стремящемся к 0 равен 1)
= 3

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к 0 равен 3.

3. Дана числовая последовательность {an} = (-1)^n / n. Найдите предел последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности.

Для нахождения предела последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности, можно проанализировать некоторые ее свойства.

Рассмотрим первые несколько членов последовательности:

a1 = (-1)^1 / 1 = -1
a2 = (-1)^2 / 2 = 1/2
a3 = (-1)^3 / 3 = -1/3
a4 = (-1)^4 / 4 = 1/4
...

Можно заметить, что каждый четный член последовательности равен положительному числу, а каждый нечетный член - отрицательному числу. Также можно заметить, что значения последовательности уменьшаются по абсолютной величине с увеличением номера члена.

Таким образом, можно предположить, что предел последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности будет равен 0.

Для проверки этого предположения, запишем неравенство:

-1/n ≤ an ≤ 1/n

Воспользуемся теоремой о двух милиционерах:

Если lim(n→∞) a(n) = 0 и существуют последовательности {b(n)} и {c(n)}, такие что lim(n→∞) b(n) = lim(n→∞) c(n) = 0 и для всех натуральных n b(n) ≤ a(n) ≤ c(n), то lim(n→∞) a(n) = 0.

Так как |an| = 1/n, и для всех натуральных n выполняется неравенство |an| ≤ 1/n, то предел an при n стремящемся к бесконечности равен 0. Это означает, что предел последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности равен 0.

4. Дана числовая последовательность {an} = n^2 / 2^n. Найдите предел последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности.

Для нахождения предела последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности, можно проанализировать ее поведение с ростом номера члена.

Рассмотрим первые несколько членов последовательности:

a1 = 1^2 / 2^1 = 1/2
a2 = 2^2 / 2^2 = 1/2
a3 = 3^2 / 2^3 = 9/8
a4 = 4^2 / 2^4 = 16/16 = 1
a5 = 5^2 / 2^5 = 25/32
...

Можно заметить, что значения последовательности {an} увеличиваются с ростом номера члена, но все равно остаются ограниченными. Это означает, что существует предел последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Для нахождения предела данной последовательности, можно воспользоваться алгебраическими преобразованиями:

an = n^2 / 2^n
= (n/n) * (n/n) / (2*2*2*...*2) (n раз)
= (n/n^2) * (n/n) / (2^n)
= 1/n * 1/n * 1/2^n

Таким образом, предел последовательности {an} при n стремящемся к бесконечности будет равен 0. Это можно объяснить тем, что числитель (n^2) растет медленнее знаменателя (2^n) с ростом номера члена.