Контрольная работа: Решение задачи по векторной алгебре

Итак, нас ждет увлекательное погружение в мир математики, а точнее - в векторную алгебру. Давайте разбираться с задачей.

Для начала рассмотрим векторы, направленные от вершины A1 к вершинам A2 и A3. Для этого нам понадобится вычислить разность координат по оси x, y и z для каждой пары вершин.

Для вектора A1A2:

a = (6-1)i + (1+1)j + (1-1)k = 5i + 2j

Для вектора A1A3:

b = (3-1)i + (4+1)j + (1-1)k = 2i + 5j

Теперь, найдем векторное произведение этих векторов, чтобы найти вектор нормали к плоскости, содержащей грань A1A2A3.

n = a x b = i j k
5 2 0
2 5 0
= (0-0)i - (0-0)j + (5*2 - 2*5)k
= 0i - 0j + 10k
= 10k

n = 10k

Теперь у нас есть вектор нормали к грани A1A2A3. Давайте напишем уравнение плоскости, содержащей эту грань.

Для этого нам нужно найти коэффициент d, который можно найти, зная, что вершина A1 принадлежит этой плоскости, то есть проекция вектора d на вектор нормали должна равняться 0.

Вектор от A1 до A4:

c = (2-1)i + (1+1)j + (4-1)k = i + 2j + 3k

Теперь найдем проекцию вектора c на вектор нормали n:

d = c*n / |n|^2 = (i + 2j + 3k) * (0i + 0j + 10k) / (0^2 + 0^2 + 10^2)
= 30 / 100
= 0.3

Уравнение плоскости будет иметь вид: 10z = 0.3, то есть z = 0.03

Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению площади грани A1A2A3. Для этого можно воспользоваться формулой площади треугольника по координатам вершин.

S = 0.5 * |a x b|

Подставляем найденные векторы a и b:

S = 0.5 * |5i + 2j x 2i + 5j|
= 0.5 * |(5*5 - 2*2)k|
= 0.5 * |21k|
= 0.5 * 21
= 10.5

Таким образом, ответ на задачу: уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A4 на грань A1A2A3 - z = 0.03, площадь грани A1A2A3 - 10.5.

Итак, как мы видим, векторная алгебра помогла нам успешно решить поставленные задачи. Надеюсь, что данное объяснение было понятным и полезным для вас. Если возникли какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!