Курсовая работа: Предел последовательности. Теорема Штольца

В математическом анализе важным понятием является предел последовательности, который позволяет изучать поведение чисел, формирующих последовательность, при стремлении индекса к бесконечности. Предел последовательности описывает значение, к которому стремится последовательность по мере увеличения её элементов. Если последовательность \(a_n\) имеет предел \(L\), то для любого ε > 0 существует такое N, что для всех n > N справедливо неравенство | \(a_n - L\)| < ε. Это значит, что члены последовательности приближаются к \(L\) по мере роста n.

Теорема Штольца является мощным инструментом в анализе пределов, особенно при работе с последовательностями, представимыми в виде дробей. Она служит аналогом теоремы о предельной величине для последовательностей. Если у нас есть две последовательности \(a_n\) и \(b_n\), и последовательность \(b_n\) является монотонной и стремится к бесконечности, то, если предел \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_n}\) существует, можно определить предел \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}\).

Теорема Штольца действительно полезна, когда непосредственное вычисление предела невозможно. Например, если \(a_n\) и \(b_n\) - последовательности, представленные в виде растущих дробей, где знаменатель уходит в бесконечность, можно использовать эту теорему для нахождения предела. Условия теоремы обеспечивают необходимую гибкость, позволяя применять её в различных случаях, включая ситуации, когда обычные методы не работают.

Примеры, подтверждающие теорему Штольца, показывают её универсальность. Например, если рассмотреть последовательность \(a_n = \ln(n)\) и \(b_n = n\), то применив теорему, можно легко установить, что предел \(\frac{a_n}{b_n}\) равен нулю. Таким образом, использование предельных значений последовательностей позволяет делать выводы о поведении сложных дробных выражений, что имеет широкое применение в теоретических и практических задачах аналитической математики.