Курсовая работа: Обчислення визначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона

Обчислення визначених інтегралів є важливим аспектом математичного аналізу, оскільки дозволяє знаходити площі під графіками функцій, обсяги тіл обертання та багато інших характеристик. Серед чисельних методів, що використовуються для обчислення таких інтегралів, особливу увагу привертають формули прямокутників, трапецій та Сімпсона. Ці методи базуються на апроксимації функції певними простішими геометричними фігурами.

Метод прямокутників полягає в розбитті області під графіком на кілька частин та апроксимації площі під кривою за допомогою площ прямокутників. Для цього вибирається певна кількість підінтервалів, на яких функція розглядається як константна. Площа кожного прямокутника обчислюється шляхом множення ширини інтервалу на значення функції в певній точці, що може бути обрано за різними принципами: зліва, справа або в центрі підінтервалу. Цей метод є простим у реалізації, але його точність зростає зі збільшенням кількості підінтервалів.

Метод трапецій також ґрунтується на апроксимації, але в цьому випадку площа під графіком оцінюється як сума площ трапецій. Кожна трапеція визначається двома сусідніми вузлами, і їх сполучення забезпечує більш точну оцінку області під кривою в порівнянні з прямокутниками. Апроксимація стає ще якіснішою при збільшенні кількості підінтервалів.

Метод Сімпсона є ще одним підходом до чисельного інтегрування, що використовує параболи для апроксимації функції. Він передбачає використання значень функції в трьох точках: на межах інтервалу та в його середині. Це дозволяє зменшити похибку, адже парабола краще підходить для опису вигину графіка функції.

Кожен із зазначених методів має свої переваги та недоліки, а вибір залежить від конкретної задачі, вимог до точності та обсягу обчислень. Порівняння результатів, отриманих різними способами, дозволяє більш глибоко зрозуміти особливості функцій та оптимальність вибраних методів для певних класів задач. Практичне застосування цих методів допомагає не лише в навчанні, але й у реальних наукових дослідженнях, де точність розрахунків є критично важливою.