Реферат на тему: Постулаты Евклида. Попытки доказательства V постулата Евклида

Введение

Евклид - автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда "Начал" оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

"Начала" состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга "Начал" начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия есть длины без ширины

Определение 3. Границы линии суть точки.

Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

Постулаты

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Оглавление

- Постулаты Евклида

- Попытки доказательства V постулата Евклида

- Кант об априорных понятиях

- Появление неевклидовой геометрии

- Янош Бояи

- Геометрия Лобачевского

- Непротиворечивость геометрии Лобачевского

- Развитие евклидовой геометрии

- Список литературы 13

Список литературы

1. Математика XIX века, "Наука", М., 1981

2. Юшкевич А.П., История математики в России, "Наука", М., 1968

3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, "Наука", М.,1971.

4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, "Белка", М., 1993

5. Клайн М., Математика. Утрата определенности, "Мир", М., 1984