Решение задач на тему: Развитие математики в россии в середине xviii века

Введение

В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.

Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, так как они рассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово "функция", Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины - флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.

Между тем совокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существенно значение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствование таблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениями геодезии и навигации.

Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе "Введение в анализ": "Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств"4.

Эйлерово определение функции - это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий "аналитическое выражение".

Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям еⁿ, ln n, sin n, cos n приводит его к трансцендентным функциям5.

Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями6.

Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств - представимость функции степенным рядом.

В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе"Введение в анализ" (1748г.).

Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться "никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии". Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны - привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, "лишенных закона непрерывности". Задача колебания струны потребовала изучения "механических" кривых, или кривых, получаемых "свободным влечением руки".

Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.

Оглавление

- Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

- Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием

- Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века

- Дифференциальное исчисление

- Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений

- Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

- Во второй четверти XVIII века в России темпы развития торговли, промышленности, науки и культуры были гораздо меньшими, чем в первой четверти. Сказывалась продолжительная Северная война, а также частые дворцовые перевороты, приводившие к власти лиц, которым чужды были национальные интересы страны

- В хозяйстве России постепенно развивались новые явления. Укреплялся и расширялся всероссийский рынок. Углублялась хозяйственная специализация отдельных районов страны определились хлебные, скотоводческие районы и районы технических культур. В центральных районах страны укрепилась трехпольная система. Развивались крестьянские промыслы, особенно в оборочных районах. И все же основным путем дальнейшего развития сельского хозяйства было освоение новых земель

- В середине XVIII века помещики с целью повышения своих доходов начали заниматься предпринимательством - открывали промышленные предприятия по переработке сельскохозяйственного сырья. Однако основная масса дворян вела хозяйство по старинке, повышая доходы от своих имений, главным образом, путем жестокой эксплуатации крестьян

- В промышленность все более и более вовлекался купеческий капитал. На основе дальнейшего развития товарного производства происходил рост капиталистической мануфактуры. К 40-м годам в России были уже довольно крупные текстильные и другие предприятия купцов и кулаков-капиталистов, где преобладал наемный труд

- Промышленность развивалась быстрее, чем сельское хозяйство. Продолжалось интенсивное строительство металлургических заводов, в котором большую роль играл частный капитал. Расширялась территория освоения горнорудных богатств на Урале. В отличие от Северного Урала, где в 30-х годах казна построила крупные доменные заводы, Южный Урал развивался как район преимущественно медеплавильный и исключительно частновладельческий. Новые заводы, правда, более мелкие, строились и в центральном металлургическом районе. Начинали осваивать Алтай. К 1750 году в России насчитывалось около 100 металлургических заводов

- Культура России во второй четверти XVIII века развивалась по пути, наметившемуся в первой четверти века. Из школ, основанных в начале XVIII века, дальнейшее развитие получили только профессиональные школы, готовившие, прежде всего военных специалистов

- Центром научной жизни страны с конца 20-х годов стала Петербургская академия наук, завоевавшая уже в эти годы всемирное признание. В 40-х годах в академии выделился ряд русских ученых, среди которых особенно отличался своей научной энциклопедичностью и многогранностью М.В. Ломоносов. Первым организационным принципом Петербургской академии наук, стимулировавшим развитие русской науки, была обязательная связь научных исследований с практическими потребностями страны