Решение задач на тему: Для трехсвязных областей и ее применение

Введение

В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы (классические представления) аналитических и гармонических функций в заданных многосвязных областях.

Даны новые методы решения классических краевых задач методом интегральных представлений аналитических функций, используя метод конформного отображения канонической области (z) на соответствующие области G(w).

Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-Шварца и Чизотти для многосвязных областей.

В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.

Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:

1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] - [7].

2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).

Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.

В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень работ по данному исследованию (1 - 24).

Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая, видоизмененная) для любой связности заданной области G= G(w) и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для полуплоскости).

В §3 интегральная формула Анри Вилля - проблема Дирихле для кругового кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная, контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же, ввиду важности трех функций I(u), (u) и (u) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты представления рядов данных функций (37) - (48) по справочникам [19] - [22] специальных функций (а), б)).

Параграфы §4 - §6 - основное содержание самостоятельной работы автора: рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам - решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).

В §5 - интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового кольца и, наконец, §6 - интегральная формула Чизотти-Шварца-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.

Оглавление - ясное представление о единстве всех классических задач и о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).

В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и однозначно.

Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями курсовых работ и самостоятельной работы автора.

Оглавление

- Введение

- О задачах Дирихле

- Задача Дирихле для круга - Задача Пуассона классическая формулировка

- Обобщенная задача Дирихле

- Видоизмененная задача Дирихле

- Классическая задача Дирихле для многосвязных областей

- Общая формулировка задачи Дирихле

- Задача Неймана

- О задачах Шварца-Пуассона

- Интеграл Шварца для круга

- Интегральная формула Пуассона

- Интеграл Пуассона для внешности круга

- Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости

- Задача Дирихле для кругового кольца

- Интегральная формула Анри Вилля - проблема Дирихле для кругового кольца 1912

- Преобразование интегральной формулы А.Вилля

- Функции Вейерштрасса Iu, u, u

- О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым задачам

- Об структурном классе интегральных представлений

- О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей

- Интегральная формула Чизотти для заданных областей - решение задачи Дирихле для соответствующих областей

- Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей

- Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей

- Литература

Список литературы

1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного переменного". М. 1965.

2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз. ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.

3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных круговых областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.

4. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1) - связных бесконечных областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.

5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных областей". СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.

6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.

7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970, стр.9-34; 179-190; 224-229.

8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд. 6. М. 1956, стр.182-184.

9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа". М.-Л., 1962, стр.584-645.

10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.

11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950.

12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.

13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов АФ". Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.

14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-24.

15. Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения". Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.

16. Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному отображению". Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.

17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. "Сингулярные и интегральные уравнения". М. 1956.

18. С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947.

19. Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967. стр.294.

20. Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М. 1962. стр.931-935.

21. М.Абрамович, И.Стиган. "Справочник по специальным функциям". М. "Наука", 1979. стр.442-445.

22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968. стр.120-143.

23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. "Формула Дини-Шварца для кругового кольца". Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.

24. Н.И.Мусхелишвили. "Сингулярные интегральные уравнения". М. 1962. стр.245-269.