Дипломная работа на тему: Вступление. Лейбниц и древняя история нестандартного анализа

Введение

Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической

логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие "бесконечно большие" и бесконечно малые величины. Таким образом, речь идет не о каких-то новых "нестандартных" методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.

Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный анализ в своей работе.

Нестандартный анализ позволяет с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путем относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими современным критериям строгости.

Оглавление

- Вступление

- Лейбниц и древняя история нестандартного анализа

- Робинсон и новая история нестандартного анализа

- Бесконечно малые величины

- Гипердействительная прямая

- Пример неархимедовой числовой системы

- Новые требования к гипердействительным числам и основная гипотеза

- Следствия основной гипотезы

- Построение системы гипердействительных чисел

- Литература...33

Список литературы

1. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? - М., Наука, 1987. - 128с.

2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М., Мир, 1980.

3. Успенский В.А. Нестандартный, или неархимедов, анализ. - М., Знание, 1983. 61 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Математика, кибернетика" № 8 ).

4. Успенский В.А. Нестандартный анализ // Наука и жизнь, 1984. - №1. - с. 45-50.

5. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. пер. с англ. - М., Наука, 1967.