Магистерская диссертация на тему: Н., ст. преп. кафедры математического анализа и МПМ Шилова З.В

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

- Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

- Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами;

Выше изложенное обусловило проблему исследования, которая заключается в исследовании целесообразности и возможности изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики. Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения.

Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих методов решения уравнений, содержащих параметры, методики их решения позволит учащимся решать уравнения, содержащие параметры, на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1. проанализировать действующие учебники алгебры и начала анализа для выявления в них использования понятия "параметра" и методов решения уравнений, содержащих параметр;

2. выделить классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения;

3. разработать программу факультативных занятий на тему "Методы решения уравнений, содержащих параметр";

4. осуществить опытное преподавание.

Оглавление

- Введение - 4

- Теоретические основы решения уравнений, содержащих параметр - 6

- Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа - 8

- Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 7 - 9 класс - 8

- Мордкович. А. Г. Алгебра 7 по 9 класс и Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс - 9

- Алимов Ш.А. и др. Алгебра с 7 по 9 класс и Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс - 13

- Основные виды уравнений, содержащих параметр - 17

- Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр - 17

- Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным - 21

- Иррациональные уравнения, содержащие параметр - 23

- Показательные уравнения, содержащие параметр - 25

- Логарифмические уравнения, содержащие параметр - 26

- Основные методы решения уравнений, содержащих параметр - 28

- Аналитический метод - 28

- Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод ветвления - 28

- Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр - 30

- Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр - 33

- Параметр как равноправная переменная - 34

- Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений - 36

- Каркас квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент. - 37

- Каркас квадратичной функции. Вершина параболы - 39

- Корни квадратичной функции. Теорема Виета - 40

- Аппарат математического анализа касательная к прямой - 41

- Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход - 43

- Область значения функции - 44

- Наибольшее и наименьшее значения - 45

- Монотонность - 47

- Четность. Периодичность. Обратимость - 49

- 4.3. Графический метод. Координатная плоскость xy - 50

- Параллельный перенос - 51

- Поворот - 52

- Гомотетия. Сжатие к прямой - 53

- 4.4. Графический метод. Координатная плоскость xа - 54

- Опытное преподавание - 56

- Заключение - 66

- Литература - 68

Заключение

При проведении исследования были решены следующие задачи:

1. проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре и началам анализа с целью выявления использования параметра и методов решения уравнений с параметром. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

- в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

- ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

- во всех учебниках задания однотипны;

2. выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их методы решения;

3. показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для решения всех видов уравнений, содержащих параметр. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, при проведении данного исследования специально не были выделены. Для данного класса уравнений существует большое количество специфических методов решения. Исследованию которых может быть посвящена отдельная работа;

4. все методы решения уравнений, содержащих параметр, рассматриваются на факультативных занятиях, но возможно так же и рассмотрение некоторых методов решения уравнений, содержащих параметр, в основное время изучения курса алгебры и начал анализа, например, метода решения квадратных уравнений с параметром. Учитывая, что уравнения, содержащие параметр, встречаются уже в 7 классе, можно разбить все методы решения уравнений, содержащих параметр, на группы, которые возможно рассмотреть во время учебных занятий;

5. разработана программа факультативных занятия на тему "Методы решения уравнений, содержащих параметр";

6. в ходе исследования также было осуществлено опытное преподавание.

Список литературы

Основная литература

1. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] : учеб. пособие/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир - Киев, 1992.

2. Дорофеев, Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. [Текст] - Львов: Квантор, 1991.

3. Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами: рациональные уравнения и неравенства. [Текст] / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов - Киров, 1999.

4. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. [Текст] / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов и др. - М.: Просвещение, 1990.

5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1986.

Дополнительная литература

6. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами [Текст]/ В.И. Горбачев// Математика в школе - 1999. - №6. - С. 60-68.

7. Горбачев, В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени [Текст]/ В.И. Горбачев// Математика в школе - 2000. - №2. - С. 61-68.

8. Дегтяренко, В.А. Три решения одной задачи с параметром [Текст]/ В.А. Дегтяренко // Математика в школе - 2001. - №5. - С. 62-64.

9. Джиоев, Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнений с параметром [Текст]/ Н.Д. Джиоев // Математика в школе - 1996. - №2. - С. 54-57.

10. Евсеева, А.И. Уравнения с параметрами [Текст]/ А.И. Евсеева // Математика в школе - 2003. - №7. - С. 10-17.

11. Епифанова, Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами [Текст]/ Т.Н. Епифанова// Математика в школе - 2003. - №7. - С. 17-20.

12. Зубов, А.Б. Использование симметрии при анализе систем с параметрами [Текст]/ А.Б.Зубов// Математика в школе - 2002. - №5. - С. 56-63.

13. Кожухов, С.К. Об одном классе параметрических задач [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе - 1996. - №3. - С. 45-49.

14. Кожухов, С.К. Различные способы решения задач с параметром [Текст]/ С.К. Кожухов // Математика в школе - 1998. - №6. - С. 9-12.

15. Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметром [Текст]/ С.А. Кожухова, С.К. Кожухов // Математика в школе - 2003. - №7. - С. 17-24.

16. Кормихин, А.А. Об уравнениях с параметром [Текст]/ А.А. Кормихин // Математика в школе - 1994. - №1. - С. 33-35.

17. Кочерова, К.С. Об уравнениях с параметром и модулем (графический способ решения) [Текст]/ К.С. Кочерова// Математика в школе - 1995. - №2. - С. 2-4.

18. Мещерякова, Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям [Текст]/ Г.П. Мещерякова // Математика в школе - 2001. - №5. - С. 60-62.

19. Мещерякова, Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметром [Текст]/ Г.П. Мещерякова // Математика в школе - 1999. - №6. - С. 69-71.

20. Мещерякова, Г.П. Уравнения и неравенства с параметром и задачи на экстремум [Текст]/ Г.П. Мещерякова, И.И. Чучаев // Математика в школе - 1999. - №6. - С. 72-74.

21. Неискашова, Е.В. Квадратный трехчлен в задачах вступительных экзаменов [Текст]/ Е.В. Неискашова// Математика в школе - 2001. - №8. - С. 24-26.

22. Постникова, С.Я. Уравнения с параметрами на факультативных занятиях [Текст]/ С.Я. Постникова// Математика в школе - 2002. -№ 8. - С. 45-46.

23. Потапов, М.К., Шевкин А.В. О решении уравнений вида [Текст]/ М.К. Потапов// Математика в школе - 2003. -№8. - С. 12-14.

24. Ратников, Н.П. От уравнения с параметром - к графику, задающему параметр [Текст]/ Н.П. Ратников // Математика в школе - 1990. - №3. - С. 80.

25. Алгебра [Текст]: учебник для 7 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. - М.: Просвещение, 1991.

26. Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. - М.: Просвещение, 1992.

27. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. - М.: Просвещение, 1993.

28. Алгебра [Текст]: учебник для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев [и др.]; отв. ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1989.

29. Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев [и др.]; отв. ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1990.

30. Алгебра 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.

31. Алгебра 7 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.

32. Алгебра 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.

33. Алгебра 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.

34. Алгебра 9 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2002.

35. Алгебра 9 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2002.

36. Алгебра и начала анализа 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2003.

37. Алгебра и начала анализа 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2003.