Магистерская диссертация на тему: Понятие, виды и особенности численных методов. Применение численных методов при решении инженерных задач

Введение

Начнем с того, что ключевым инструментом в решении наиболее сложных инженерных задач сегодня представляют собой численные методы, которые позволяют сводит решение к выполнению конечного числа арифметических действий. Стоит заметить, что результаты при этом получают в виде числовых значений с некоторой заданной точностью.

Наиболее важным видится то, что большинство численных методов являются уже известными давно, однако период их бурного развития и непосредственного внедрения в широкую практику начался только лишь с появлением электронно-вычислительной техники. Так, использование компьютеров предоставляет возможность значительно сократить трудоемкость решения многих современных задач.

Отметим, что наиболее эффективное использование электронно-вычислительная техника нашла именно при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях, в частности в процессе решениях многих задач инженерного анализа. К примеру, нахождение корней различных типов уравнений и их систем, а также поиск экстремальных значений функций и многое другое.

Кроме этого, численные методы, в частности метод конечных разностей, метод прямых, метод конечных элементов являются весьма универсальными. Зачастую они используются с целью решения нелинейных задач математической физики, а также линейных задач с переменными операторными коэффициентами.

Так, история применения численных методов насчитывает уже полвека. За это время многостороннее развитие получил метод конечных разностей (МКР), основы которого были заложены еще до появления быстродействующих ЭВМ, возник и достиг высокого совершенства метод конечных объемов (МКО), сформировалось отдельное направление, связанное с приложением к задачам динамики жидкости и газа метода конечных элементов (МКЭ), созданного изначально для решения проблем механики деформируемого твердого тела.

Цель работы - исследовать применение численных методов (метод конечных объемов, метод конечных разностей, метод конечных элементов) при решении инженерных задач. Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

- рассмотреть понятие, виды и особенности численных методов;

- проанализировать применение численных методов при решении численных задач.

При написании работы использовались такие методы, как теоретическое обоснование темы, изучение научных источников, а также их сравнительный анализ.

Оглавление

- Введение 3

- Понятие, виды и особенности численных методов

- Применение численных методов при решении инженерных задач

- Заключение 13

- Библиографический список 14

Заключение

Таким образом, по итогам работы были решены следующие задачи:

- рассмотрено понятие, виды и особенности численных методов;

- проанализировано применение численных методов при решении численных задач.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что в математике, а также ее приложениях в разнообразных сферах зачастую возникает необходимость получения решения математических задач в числовой форме. При этом для графического представления решения также требуется предварительное вычисление его значения. Отметим, что для многих задач, однако, известно только существование решения, но нет конечной формулы, представляющей его решение.

Даже при использовании этой формулы может оказаться неэффективным применять ее для получения значений отдельных решений. Наконец, всегда есть необходимость решать математические задачи, для которых нет строгих доказательств существования решения на данный момент. Как результат, во всех данных случаях применяются методы приближенного, прежде всего, численного решения. Подчеркнем, что методы численного решения математических задач всегда являлись неотъемлемой частью математики, а также неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования.

В заключение остается лишь подчеркнуть, что численные методы, которые являются более требовательными к аппаратному обеспечению и навыкам пользователя, предоставляют преимущества только в том случае, если более простые методы не могут достичь желаемого результата из-за присущих им ограничений. Так, если рассчитанные площади имеют правильную форму и позволяют построить разностную сетку, то преимущества МКР выходят на первый план. Однако, если геометрические формы очень различны, то МКЭ как независимый метода геометрии будет иметь преимущество. В свою очередь, МКО сохраняет все преимущества метода конечных разностей, а по сравнению с методом конечных элементов, алгоритм построения разностных отношений проще.

Список литературы

1. Дегтярев, А.А. Метод конечных разностей / А.А. Дегтярев // Электронное учебное пособие. - 2011. - 83 с.

2. Ковеня, В.М. Методы конечных разностей и конечных объемов для решения задач математической физики / В.М. Ковеня, Д.В. Чирков // Учебное пособие. - Новосибирск, 2013. - 87 с.

3. Колеснев, Д.П. Применение метода конечных объемов при расчетном анализе рабочих процессов поршневого детандера / Д.П. Колеснев, М.А. Молодов, А.А. Прилуцкий, И.К. Прилуцкий. - 2012. - № 1. - С. 53-58.

4. Литвинова, Э.В. Применение метода конечных разностей для решения динамических задач / Э.В. Литвинова // Международный научно-технический журнал. - 2017. - № 6(60). - С. 145-149.

5. Огородникова, О.М. Вычислительные методы в компьютерном инжиниринге: учебное пособие / О. М. Огородникова // Екатеринбург: УрФУ, 2013. - 130 с.

6. Панкратов, И.А. Применение метода конечных объемов к расчету течений мелкой воды / И.А. Панкратов // Моделирование. Фундаментальные исследования, теория, методы и средства. - 2017. - С. 60-63.