Решение задач на тему: Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом "Интегральном исчислении" Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V - два решения, то функция U + V при любых постоянных и снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

Оглавление

- Введение..3

- Уравнения гиперболического типа

- Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

- Уравнение колебаний струны

- Уравнение электрических колебаний в проводах

- Метод разделения переменных

- Уравнение свободных колебаний струны

- Уравнения параболического типа

- Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа

- Уравнение распространения тепла в стержне

- Распространение тепла в пространстве

- Температурные волны

- Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных

- Дифракция излучения на сферической частице

- Заключение.40

- Литература..41

Заключение

В дипломной работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракция излучения на сферической частице.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере - температурные волны. В третьей главе рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической частице.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Список литературы

1. Н. С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", М., "Наука", 1972, том. 2.

2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер "Курс математического анализа", М., "Просвещение", 1976.

3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1972.

4. Владимиров В. С. "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1988.