Дипломная работа на тему: Алгебры и геометрии Подгорная В

Введение

История арифметики остатков начинается с исследований К.Ф. Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории сравнений с астрономическими задачами (китайская теорема об остатках). В результате многочисленных исследований теория остатков была распространена на кольца произвольной природы. В последнее время обнаружилось приложение этой теории в криптографии. В дипломной работе изложена теория остатков на современном алгебраическом языке.

Дипломная работа состоит из пяти разделов.

В первом разделе изложено понятие остатка, наибольшего общего делителя, алгоритма Евклида, расширенного алгоритма Евклида и применение алгоритма Евклида для решения линейных диофантовых уравнений и разложение чисел в цепные дроби.

Во втором разделе изложен алгебраический подход к делимости в кольцах. Рассмотрена область целостности, кольцо частных и евклидовы кольца.

В третьем разделе изложены теории вычетов по модулю и теория сравнений. Приведено применении теории остатков в криптографии (алгоритм RSA).

В четвертом разделе изложена теория мультипликативных функция и подробно рассмотрена функция Эйлера, с её свойствами.

В пятом разделе изложена китайская теорема об остатках для колец.

Оглавление

- Введение 3

- Алгоритм Евклида

- Определения алгоритма

- Алгоритм Евклида

- Применения алгоритма Евклида

- Делимость в кольцах

- Область целостности

- Кольцо частных

- Евклидовы кольца

- Сравнения и арифметика остатков

- Функция Эйлера

- Китайская теорема об остатках

- Заключение 62

- Список использованных источников 63

Заключение

История арифметики остатков начинается с исследований К.Ф. Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории сравнений с астрономическими задачами (китайская теорема об остатках). В результате многочисленных исследований теория остатков была распространена на кольца произвольной природы. В последнее время обнаружилось приложение этой теории в криптографии. В дипломной работе изложена теория остатков на современном алгебраическом языке.

Список литературы

1. С. Ленг, Алгебра, М., 1968

2. С. Коунтинхо, Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA, М. 2001

3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру, М., 2000

4. О. Зарисский, Коммутативная алгебра, т.1., М., 1963