Решение задач на тему: Постановка и уяснение задачи. Анализ предметной области. Метод неопределённых коэффициентов

Введение

Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.

Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа "элементарных" операций: сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисление синуса и косинуса и т.д.

Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия "элементарной" операции претерпели изменения. Решение некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других так называемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница между вычислением функций sin x, ln x,… и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно приближая их многочленами, рациональными дробями и т.д.

Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включились задачи, решение которых выражаются через специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет относительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а следовательно и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.

В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сравнимы с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи.

При желании можно получить график решения или его изображение на экране. В результате этого для многих категорий научных работников существенно уменьшился интерес к изучению частных способов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде.

Эта работа посвящена описанию одного из методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследования свойств этого метода.

Обратим внимание на то обстоятельство, что как и в других случаях, первоначальный анализ практической пригодности метода производится, изучая простейшие задачи, где точное и приближенное решение задачи выписываются в явном виде.

Оглавление

- Введение

- Постановка и уяснение задачи

- Анализ предметной области

- Метод неопределённых коэффициентов

- Использование интерполяционных многочленов

- Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных

- Разработка алгоритма и программы

- Разработка алгоритма

- Обоснование выбора языка программирования

- Разработка программы

- Экспериментальное исследование алгоритма и программы

- Решение задачи методом неопределённых коэффициентов

- Тестирование программы

- Руководство программисту Заключение

- Список литературы

- Приложение А

- Приложение Б

Заключение

Данная работа посвящена разработке алгоритма и программы решения задачи нахождения производной методом неопределённых коэффициентов. Сложность поставленной задачи обуславливается тем, что при нахождение производной данным методом, мы часто получаем выходное уравнение с многочленами при больших степенях. Решение такого уравнения может быть слишком долгим, что потребует больших затрат.

Рассмотренный метод неопределённых коэффициентов является одним из самых быстрых для поиска производной. Он лёгок для понимания и способен давать достаточно точные результаты.

Основные результаты работы сводятся к тому, что указывается важная роль применения численных методов, а в частности методов нахождения производной, направление развития существующих методов, обуславливается выбор метода.

Список литературы

1."Основы численных методов"-Л.И Турчак (1987г);

2. "Численные методы" Бохвалов Н.В.