Реферат на тему: Квази-средние как обобщение классических средних величин. Квази-средние и функциональные уравнения

Введение

Вопросы данной работы относятся к области математического анализа, конкретнее к теории средних величин, которая рассматривает свойства средних и неравенства с ними связанные.

Нашей целью будет изучение так называемых квази-средних, обобщающих известные среднее арифметическое, геометрическое и степенное.

В главе 1 мы скажем вначале о том, что вообще понимается под средними, а затем введём новые величины и проверим, в какой мере они удовлетворяют этому определению.

В главе 2 от прямого, конструктивного задания квази-средних, перейдём к аксиоматическому определению, то есть предпишем им некоторые характеристические свойства, а также выделим их основные классы. Здесь в основе будут лежать функциональные уравнения, которые мы отдельно рассмотрим.

В главе 3 укажем неравенства для квази-средних, из которых как частные случаи получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги. Теперь будем опираться на теорию выпуклых функций, и поэтому вновь предварительно обсудим некоторые её вопросы.

Методы доказательств, которые мы применяем в этой работе, не выходят за рамки классического анализа: используем свойства непрерывных, монотонных, выпуклых функций, обращаемся к функциональным уравнениям, при этом доказываем все необходимые факты.

Многие утверждения известны из литературы (где иногда просто сформулированы), некоторые утверждения являются новыми. Мы приводим их полное доказательство, уточняем, детализируем.

Оглавление

- Введение 3

- Квази-средние как обобщение классических средних величин

- Квази-средние и функциональные уравнения

- Решение некоторых функциональных уравнений

- Характеристическое свойство квази-средних

- Тождественные квази-средние

- Однородные квази-средние

- Аддитивные квази-средние

- Квази-средние и выпуклые функции

- Некоторые вопросы теории выпуклых функций

- Обобщение неравенства Коши и его аналог

- Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог

- Заключение 30

- Библиографический список 31

Заключение

Теперь когда мы завершили изложение нашего вопроса, скажем несколько слов о возможных направлениях развития темы.

Всё доказанное о квази-средних можно разделить на две части: теоретическую (аксиоматическое задание, выделение классов новых величин) и практическую (неравенства для квази-средних как метод доказательства менее общих неравенств).

Первую часть считаем завершённой. Вторая часть остаётся открытой. Как мы видели, доказательство новых неравенств для выпуклых функций даёт возможность сформулировать новые неравенства и для квази-средних. Последние в свою очередь можно конкретизировать для их частных случаев. Так с помощью аналога неравенства Иенсена мы вывели неравенство для квази-средних, из которого в качестве следствия получили аналог неравенства Коши.

Список литературы

1. Muliere, Р. Оn Quasi-Means [Text] / Р. Muliere // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 3(2), 1991, Article 21.

2. Харди, Г.Г. Неравенства [Text] / Г.Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полиа.-М.: Иностранная литература, 1948.

3. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу [Text] / С. И. Калинин.-Киров: Изд-во ВГГУ, 2002.

4. Беккенбах Э. Неравенства [Text]/ Э. Беккенбах, Р. Беллман.-М.: Издательство "Мир", 1965.

5. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей [Text].- Киров: Изд-во ВГГУ, 2001.

6. Mericoski, J. К. Extending means оf two variables tо several variables [Text] / J. К. Mericoski. // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 5(3), 2004, Article 65.