Магистерская диссертация на тему: Развертка многогранника. Увеличение объема

Введение

Как известно телом максимального объема с заданной площадью поверхности является шар.

В данной же работе рассматривается следующая задача:

Дан произвольный многоугольник. Требуется сложить из него многогранник максимального объема.

Теорема Александрова (1932) дает нам достаточные и необходимые условия существования выпуклого многогранника (причем единственного) для заданной развертки, но не говорит о том, как его построить. Конструктивное доказательство теоремы Александрова было дано Волковым [2] в 1955г.

Но в рассматриваемой задаче у нас нет условий склейки многогранника, поэтому из данного многоугольника, варьируя условия склейки, можно получить несколько выпуклых многогранников. Например, из развертки куба, известной под названием латинский крест, можно получить 85 выпуклых многогранников 5 различных типов. Используя метод динамического программирования Эрик и Мартин Демайны [Erik Demaine, Martin Demain] совместно с Анна Любив [Anna Lubiw] и Жозеф О'Рурк [Joseph О'Rourke] в 2007 г. предложили алгоритм построения всевозможных выпуклых многогранников из данного многоугольника.

Казалось бы, что задача решена: используя алгоритм построить все возможные многогранники и из них выбрать многогранник с максимальным объемом, но дело осложняет теорема Бликера [Bleecker] (1996), утверждающая, что любой выпуклый многогранник, грани которого - треугольники можно преобразовать в невыпуклый многогранник большего объема. В 2006 г. Игорь Пак и Гурий Самарин независимо друг от друга доказали обобщение теоремы Бликера - из развертки любого выпуклого многогранника можно сложить невыпуклый многогранник большего объема.

В 2002 г. С.Н. Михалёвым был предложен пример двух многогранников - выпуклого и невыпуклого - составленных из одинаковых граней таких, что объём выпуклого многогранника меньше объема невыпуклого.

Оглавление

- Введение

- Развертка многогранника

- Увеличение объема Список использованных источников

Список литературы

- Dаvid D. Вlеескеr. Vоlumе inсrеаsing isоmеtriс dеfоrmаtiоns оf соnvеx роlyhеdrа /D. D. Вlеескеr // Jоurnаl Diffеrеntiаl Gеоmеtry. 1996. V. 43. Р.

- Долбилин Н.П., Жемчужины теории многогранников / Н.П. Долбилин - М.: МЦНМО.