Дипломная работа на тему: Линейные преобразования. Индексные обозначения. Общее определение тензоров

Введение

Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 веке развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому тензорное исчисление иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.

Тензор (от лат. tensus - напряжённый, натянутый), математический термин, появившийся в середине 19 века и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин "тензор" получил в современном тензорном исчислении, где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин "тензор" широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора F, преобразующего вектор х в вектор Fх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уFх не меняется при перестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название "тензор"), а затем перенесён в другие области механики. Так появились тензор деформации, тензор напряжения, тензор инерции и др.

Оглавление

- Введение

- Линейные преобразования

- Индексные обозначения

- Общее определение тензоров

- Скалярное произведение и метрический тензор

- Действия с тензорами

- Поднятие и опускание индексов

- Тензоры в криволинейных координатах

- Примеры вычислений Заключение

- Литература

Заключение

Тензорное исчисление, математическая теория, изучающая величины особого рода - тензоры, их свойства и правила действий над ними. Тензорное исчисление является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц. Тензорное исчисление широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки. Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами - равенствами, связывающими эти числа или системы чисел.

Список литературы

1. Шарипов Р.А.. Быстрое введение в тензорный анализ. - Уфа: БГУ, 2004.-50с.

2. Мак-Коннел А.Дж.. Введение в тензорный анализ с приложениями. - Москва: ФМ, 1963.- 411с.

3. Зубов Л.М., Карякин М.И.. Элементы тензорного исчисления. - Ростов: РГУ, 2003.- 108с.

4. Рашевский П.К.. Риманова геометрия и тензорный анализ.- Москва: Наука, 1967.-664с.

5. Акивис М.А., Гольдберг В.В.. Тензорное исчисление.- Москва: Наука, 1969.-352с.

6. Кочин Н.Е.. Векторное исчисление и начала тензорного исчисление.- Москва: Наука, 1965.-424с.

7. Борисенко А.И., Тарапов И.Е.. Векторный анализ и начала тензорного исчисление.- Москва: Высшая школа, 1966.-252с.