Нужна индивидуальная работа?

Подберем литературу

Поможем справиться с любым заданием

Подготовим презентацию и речь

Оформим готовую работу

Узнать стоимость своей работы

Дарим 200 руб.
на первый
заказ

Решение задач

Макроэкономика

Решение задач на тему: Линейные алгебры малых размерностей

Купить за 100 руб.

Страниц

Размер файла

68.72 КБ

Просмотров

Покупок

Введение

Алгебры Ли прочно вошли в математику в конце прошлого века. Их теория благодаря вниманию многих выдающихся математиков обогатилась целым рядом тонких и красивых результатов, влияние которых простирается далеко за пределы алгебры. Поэтому отсутствие книги учебного характера по теории алгебр Ли давно воспринималось как досадный пробел в математической литературе. Отчасти это объяснялось тем фактом - благоприятным во всех других отношениях, - что теории групп Ли и алгебр Ли продолжительное время развивались параллельно, а преобладание методов анализа и топологии лишь способствовало укоренившейся привычке смотреть на аппарат алгебр Ли прежде всего как на полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. Алгебраические же основания теории оставались до некоторых пор в тени, созревая на страницах журнальных статей, особенно многочисленных за последние два десятилетия.

Алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли.

Теория представления алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представления групп Ли.

Теория алгебр Ли выросла из теории Ли непрерывных групп. Основным результатом последней является сведение "локальных" задач, относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, т. е. к задачам линейной алгебры. Каждой группе Ли сопоставляется алгебра Ли над полем вещественных или комплексных чисел, и устанавливается соответствие между аналитическими подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, при котором инвариантным подгруппам соответствуют идеалы, абелевым подгруппам - абелевы подалгебры и т. д. Изоморфизм алгебр Ли эквивалентен локальному изоморфизму соответствующих групп Ли.

В последнее время введение соответствующих алгебр Ли оказалось полезным при изучении двух других разделов теории групп. Первым из этих разделов является теория свободных групп, которую можно изучать при помощи свободных алгебр Ли, пользуясь методом, впервые предложенным Магнусом. Хотя эта связь не такая тесная, как в теории Ли, применение алгебр Ли привело к важным результатам относительно свободных групп и других классов абстрактных групп. В частности, необходимо отметить результаты по так называемой ослабленной проблеме Бернсайда: ограничены ли порядки конечных групп, имеющих фиксированное число r образующих и удовлетворяющих соотношению хm=1, где m - фиксированное положительное целое число? Стоит указать, что важную роль в этих приложениях к теории абстрактных групп играют алгебры Ли простой характеристики.

Наряду с группами важную роль в теории симметрий играют такие алгебраические объекты, как ассоциативные алгебры и алгебры Ли.

Заключение

Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (ξ1, ξ2) →[ ξ1, ξ2] произведения L L в L), которое антисимметрично

и удовлетворяет тождеству Якоби

для всех ξ1, ξ2, ξ3 L. Произведение [ ξ1, ξ2] называется коммутатором векторов ξ1 и ξ2. Любое векторное пространство можно превратить в алгебру Ли. Если, например, определить умножение, пологая [ ξ1, ξ2]=0 для всех векторов ξ1, ξ2 рассматриваемого пространства, то получается алгебра Ли, называемая коммутативной, или абелевой. Размерностью алгебры Ли L называется размерность векторного пространства L.