Решение задач на тему: Решение дифференциальных уравнений. Обзор

Введение

Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от . Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

Решением этого уравнения на интервале I=[а,b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xк-xк-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений - это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)

Оглавление

- Введение

- Обзор методов решения в Excel

- Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

- Задача Коши

- Метод Эйлера

- Модифицированный метод Эйлера

- Практическая часть

- Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad

- Метод Эйлера

- 2.2 Метод Эйлера с шагом h2

- Метод Рунге - Кутты Заключение

- Список литературы

Список литературы

1. Индейкин В. В. Табличный редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. - Казань, 1999. - 75с.

2. Кудрявцев Е. М. MathCAD 2000 Pro. - М.: ДМК Пресс, 2001. - 571с.

3. Руководство пользователя Mathcad 6.0 и Mathcad PLUS 6.0. - Компания SoftLine. http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/UsersGuide/0.asp