Решение задач: Алгебра Ли.

Пусть L совпадает с вещественным векторным полем R^3. Для любых векторов х, у, принадлежащих L, определим операцию умножения как векторное произведение х*у. Чтобы убедиться, что L является алгеброй Ли, необходимо проверить выполнение всех аксиом, определяющих алгебру Ли.

1. Антикоммутативность: [х, у] = -[у, х] для любых х, у из L.
2. Линейность: [ах + bу, z] = а[х, z] + b[у, z] и [z, ах + bу] = а[z, х] + b[z, у] для любых х, у, z из L и чисел а, b из R.
3. Идентичность: [х, х] = 0 для всех х из L.

Теперь выпишем структурные константы алгебры Ли L относительно стандартного базиса в R^3. Пусть {e₁, e₂, e₃} - стандартный базис в R^3.

Выразим их в виде векторов: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1).

Тогда для векторов х = (x₁, x₂, x₃), у = (y₁, y₂, y₃) из L, структурные константы будут выглядеть следующим образом:

- [e₁, e₂] = e₁ * e₂ = (1, 0, 0) * (0, 1, 0) = (0, 0, 1) = e₃
- [e₂, e₃] = e₂ * e₃ = (0, 1, 0) * (0, 0, 1) = (1, 0, 0) = e₁
- [e₃, e₁] = e₃ * e₁ = (0, 0, 1) * (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = e₂

Таким образом, структурные константы алгебры Ли L относительно стандартного базиса в R^3 будут записываться как [e₁, e₂] = e₃, [e₂, e₃] = e₁, [e₃, e₁] = e₂. Эти константы позволяют нам определить операцию умножения векторов в алгебре Ли L и проверить ее свойства.