Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 9.

1. Задача о нахождении предела функции. Дана функция f(x) = (2 + 3x - x^2)/(1 + x). Необходимо найти предел функции при x стремящемся к бесконечности.

Решение:
Для начала разделим числитель и знаменатель функции на х:
f(x) = (2/x + 3 - x)/(1/x + 1)
При x стремящемся к бесконечности, первое слагаемое в числителе (2/x) и первое слагаемое в знаменателе (1/x) стремятся к нулю. Воспользуемся этим фактом:
f(x) = (0 + 3 - x)/(0 + 1) = -x + 3

Теперь, когда мы выразили функцию через x, можем найти предел функции при x стремящемся к бесконечности. Заменим х на бесконечность (-∞):
lim(x->∞) -x + 3 = -∞ + 3 = -∞

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен минус бесконечности.

2. Задача о нахождении предела числовой последовательности. Дана последовательность a_n = (2^n + 3^n)/4^n. Необходимо найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Решение:
Перепишем формулу последовательности, разложив числитель на два слагаемых:
a_n = [(2/4)^n + (3/4)^n] = (1/2)^n + (3/4)^n

Теперь мы имеем два слагаемых, содержащих степени. Заметим, что (1/2)^n стремится к нулю, а (3/4)^n стремится к нулю также. Воспользуемся этим фактом:
lim(n->∞) [(1/2)^n + (3/4)^n] = 0 + 0 = 0

Таким образом, предел последовательности a_n при n стремящемся к бесконечности равен нулю.

3. Задача о нахождении предела функции. Дана функция g(x) = (2x^2 - 5x + 3)/(4x^2 + 3x + 5). Необходимо найти предел функции при x стремящемся к минус бесконечности.

Решение:
Для начала разделим числитель и знаменатель функции на x^2:
g(x) = (2 - 5/x + 3/x^2)/(4 + 3/x + 5/x^2)

При x стремящемся к минус бесконечности, первое слагаемое в числителе (2) и первое слагаемое в знаменателе (4) останутся константами. Остальные слагаемые стремятся к нулю. Воспользуемся этим фактом:
g(x) = (2 - 0 + 0)/(4 + 0 + 0) = 2/4 = 1/2

Таким образом, предел функции g(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен 1/2.

4. Задача о нахождении предела числовой последовательности. Дана последовательность b_n = sin(nπ/2). Необходимо найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Решение:
Заметим, что значение синуса для nπ/2 имеет период 4. То есть, sin(nπ/2) принимает значения sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = -1, sin(2π) = 0 и так далее.

Так как n стремится к бесконечности, последовательность b_n будет бесконечно периодичной, принимая значения 0, 1, 0, -1, 0 и так далее. Она не имеет предела.

Таким образом, предел последовательности b_n при n стремящемся к бесконечности не существует.

5. Задача о нахождении предела функции. Дана функция h(x) = sqrt(x^2 + 4) - x. Необходимо найти предел функции при x стремящемся к плюс бесконечности.

Решение:
Для начала упростим функцию, избавившись от корня:
h(x) = sqrt(x^2 + 4) - x = (x^2 + 4)^(1/2) - x

Теперь необходимо найти предел функции при x стремящемся к плюс бесконечности. Заметим, что подкоренное выражение (x^2 + 4) стремится к бесконечности, а значение корня стремится к значению бесконечности. Воспользуемся этим фактом:
lim(x->∞) sqrt(x^2 + 4) - x = ∞ - ∞ = неопределенность

Таким образом, предел функции h(x) при x стремящемся к плюс бесконечности является неопределенным.

6. Задача о нахождении предела числовой последовательности. Дана последовательность c_n = n^2/(n^2 + 1). Необходимо найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Решение:
Разделим числитель и знаменатель последовательности на n^2:
c_n = n^2/(n^2 + 1) = 1/(1 + 1/n^2)

Теперь при n стремящемся к бесконечности, 1/n^2 стремится к нулю. Воспользуемся этим фактом:
lim(n->∞) 1/(1 + 1/n^2) = 1/(1 + 0) = 1/1 = 1

Таким образом, предел последовательности c_n при n стремящемся к бесконечности равен 1.

7. Задача о нахождении предела функции. Дана функция k(x) = (2x^2 - 5)/(3x^2 + 2). Необходимо найти предел функции при x стремящемся к плюс бесконечности.

Решение:
Для начала разделим числитель и знаменатель функции на x^2:
k(x) = (2 - 5/x^2)/(3 + 2/x^2)

При x стремящемся к плюс бесконечности, первое слагаемое в числителе (2) и первое слагаемое в знаменателе (3) останутся константами. Остальные слагаемые стремятся к нулю. Воспользуемся этим фактом:
k(x) = (2 - 0)/(3 + 0) = 2/3

Таким образом, предел функции k(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен 2/3.

8. Задача о нахождении предела числовой последовательности. Дана последовательность d_n = (n - 1)/(n + 1). Необходимо найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Решение:
Делитель и числитель последовательности имеют одинаковую степень n, поэтому можно упростить последовательность:
d_n = (n - 1)/(n + 1) = 1 - 2/(n + 1)

Теперь при n стремящемся к бесконечности, 2/(n + 1) стремится к нулю. Воспользуемся этим фактом:
lim(n->∞) 1 - 2/(n + 1) = 1 - 0 = 1

Таким образом, предел последовательности d_n при n стремящемся к бесконечности равен 1.

9. Задача о нахождении предела функции. Дана функция m(x) = (3x - 4)/(2x + 5). Необходимо найти предел функции при x стремящемся к минус бесконечности.

Решение:
Для начала разделим числитель и знаменатель функции на x:
m(x) = (3 - 4/x)/(2 + 5/x)

При x стремящемся к минус бесконечности, первое слагаемое в числителе (3) и первое слагаемое в знаменателе (2) останутся константами. Остальные слагаемые стремятся к нулю. Воспользуемся этим фактом:
m(x) = (3 - 0)/(2 + 0) = 3/2

Таким образом, предел функции m(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен 3/2.

10. Задача о нахождении предела числовой последовательности. Дана последовательность e_n = (3n + 2)/(2n - 1). Необходимо найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Решение:
Делитель и числитель последовательности имеют одинаковую степень n, поэтому можно упростить последовательность:
e_n = (3n + 2)/(2n - 1) = (3/2) * (n + 2/n - 1/n)

Теперь при n стремящемся к бесконечности, 2/n и 1/n стремятся к нулю. Воспользуемся этим фактом:
lim(n->∞) (3/2) * (n + 2/n - 1/n) = (3/2) * (n + 0 - 0) = (3/2) * n

Таким образом, предел последовательности e_n при n стремящемся к бесконечности является бесконечно большим и не существует.