Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 4.

Задачи на нахождение пределов функций и числовых последовательностей являются одной из основных задач математического анализа на первом курсе. В предыдущих частях мы уже рассмотрели несколько таких задач и узнали, как находить пределы функций и последовательностей с помощью различных методов. Сегодня мы продолжим изучение данной темы и рассмотрим еще 10 задач.

1. Найти предел функции \(f(x) = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 2}\) при \(x \to 2\).
2. Найти предел числовой последовательности \(a_n = \frac{3n^2 - 2n + 1}{n - 2}\) при \(n \to \infty\).
3. Найти предел функции \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x\) при \(x \to \infty\).
4. Найти предел числовой последовательности \(a_n = \sqrt{n^2 + 4n} - n\) при \(n \to \infty\).
5. Найти предел функции \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) при \(x \to 0\).
6. Найти предел числовой последовательности \(a_n = \frac{\sin n}{n}\) при \(n \to \infty\).
7. Найти предел функции \(f(x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln x}\) при \(x \to \infty\).
8. Найти предел числовой последовательности \(a_n = \frac{\ln (n + 1)}{\ln n}\) при \(n \to \infty\).
9. Найти предел функции \(f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) при \(x \to \infty\).
10. Найти предел числовой последовательности \(a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) при \(n \to \infty\).

Для решения данных задач можно применить различные способы и методы, такие как арифметические действия с пределами, замены переменных, использование известных пределов, правила Лопиталя и другие. В каждой задаче необходимо учесть особенности функции или последовательности и корректно применить соответствующий метод.

Например, для первой задачи можно применить арифметические действия с пределами и замену переменной:
\[\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(3x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} 3x + 1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7.\]

Во второй задаче можно применить правило Лопиталя:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - 2n + 1}{n - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n - 2}{1} = \infty.\]

Таким образом, решая каждую задачу, мы можем применять различные методы и правила, анализируя особенности функций или последовательностей. Главное - понимать, какой метод нужно применить в каждой конкретной ситуации и уметь корректно его использовать. Задачи на нахождение пределов функций и числовых последовательностей помогают развить логическое мышление и умение анализировать математические объекты, что является важным навыком для дальнейшего изучения математического анализа и других математических дисциплин.