Решение задач: Матанализ, 1 курс, пределы функций и последовательностей, часть 2

В предыдущей части мы рассмотрели основные принципы нахождения пределов функций и числовых последовательностей. Теперь перейдем к решению нескольких задач, чтобы закрепить полученные знания.

Задача 1. Найдите предел функции f(x) = sin(x)/x при x --> 0.

Решение: Для начала заметим, что при x = 0, функция становится неопределенной, так как в знаменателе получается 0. Однако можно заметить, что при стремлении x к 0, значение sin(x) также стремится к 0. Поэтому, можно использовать аналогичное значение для sin(x), равное x. Тогда функция принимает вид f(x) = x/x = 1. Таким образом, предел функции при x --> 0 равен 1.

Задача 2. Найдите предел функции f(x) = sqrt(3x+1) при x --> infinity.

Решение: Для решения данной задачи воспользуемся некоторыми свойствами пределов функций. В данном случае, функция имеет корень из выражения 3x+1. При стремлении x к бесконечности, выражение 3x+1 также стремится к бесконечности, и, соответственно, корень из него также будет стремиться к бесконечности. Поэтому, предел функции f(x) при x --> infinity будет равен бесконечности.

Задача 3. Найдите предел функции f(x) = (2^x + 3^x)^(1/x) при x --> infinity.

Решение: В данной задаче у нас есть сложная функция, в которой возводятся в степень различные числа. Однако, можно заметить, что при стремлении x к бесконечности, 3^x будет стремиться к бесконечности быстрее, чем 2^x. Поэтому, можно упростить функцию, приняв во внимание только слагаемое 3^x. Тогда функция будет выглядеть как f(x) = (3^x)^(1/x) = 3^(x/x) = 3. Таким образом, предел функции при x --> infinity будет равен 3.

Задача 4. Найдите предел последовательности {an}, где an = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n при n --> infinity.

Решение: В данной задаче у нас есть последовательность, состоящая из суммы ряда. Можно заметить, что каждый следующий элемент последовательности будет меньше предыдущего, так как в знаменателе у нас возникает степень двойки, которая будет увеличиваться с каждым новым слагаемым. Поэтому, можно сделать вывод, что последовательность ограничена сверху числом 2. Также, можно заметить, что каждый новый элемент последовательности будет более близким к 1, но не достигая его. Следовательно, предел этой последовательности при n --> infinity будет равен 1.

Задача 5. Найдите предел последовательности {an}, где an = (n^2 + 2n)/(n^3 + 3n^2) при n --> infinity.

Решение: Для нахождения предела данной последовательности, необходимо разделить каждый элемент числителя и знаменателя на n^3. Тогда получим an = (1/n + 2/n^2)/(1 + 3/n). При стремлении n к бесконечности, каждое слагаемое в числителе и знаменателе будет стремиться к 0. Поэтому, можем применить правило Лопиталя, дифференцируя числитель и знаменатель. Получим an = (1/1 + 0)/(0 + 0) = 1/0 = бесконечность. Таким образом, предел последовательности при n --> infinity будет равен бесконечности.

Задачи 6-10 будут решены в следующей части.