Решение задач: аналитическая геометрия, векторная алгебра

Задача 3.

Для начала, дадим определение вектора в трехмерном пространстве. Вектором называется упорядоченный набор чисел (x,y,z), где x, y и z представляют собой координаты вектора в заданной системе координат. Также вектор можно представить с помощью начальной и конечной точек, где начальная точка соответствует началу вектора, а конечная точка - его концу.

Проведем некоторые вычисления с векторами. Даны векторы a=(-2,3,5) и b=(4,-1,2). Найдем сумму векторов a и b. Для этого складываем соответствующие координаты векторов:
a + b = (-2+4, 3-1, 5+2) = (2, 2, 7).

Теперь найдем разность векторов a и b. Вычитаем соответствующие координаты векторов:
a - b = (-2-4, 3-(-1), 5-2) = (-6, 4, 3).

Далее, нам дан вектор c=(3,1,-2) и коэффициент k=2. Найдем произведение вектора c на коэффициент k. Это означает, что каждая координата вектора c будет умножена на значение k:
k*c = (2*3, 2*1, 2*(-2)) = (6, 2, -4).

Перейдем к задаче 5.

Заданы точки A(1,2,-1) и B(4,0,3). Найдем вектор, соединяющий эти две точки. Для этого вычислим разность координат точек:
AB = (4-1, 0-2, 3-(-1)) = (3, -2, 4).

Перейдем к задаче 6.

Найдем модуль вектора AB, который мы получили в предыдущей задаче. Модуль вектора вычисляется следующим образом:
|AB| = √(3^2 + (-2)^2 + 4^2) = √(9 + 4 + 16) = √29.

Перейдем к задаче 8.

Даны точки A(1,-2,3) и B(4,0,-1). Найдем косинус угла между векторами AB и вектором i. Сначала вычислим вектор AB:
AB = (4-1, 0-(-2), -1-3) = (3, 2, -4).

Теперь найдем длины векторов AB и i:
|AB| = √(3^2 + 2^2 + (-4)^2) = √(9 + 4 + 16) = √29,
|i| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1.

Косинус угла между двумя векторами AB и i равен произведению скалярного произведения векторов AB и i, деленному на произведение модулей векторов AB и i:
cosθ = (AB · i) / (|AB| |i|),
где θ - угол между векторами AB и i.

Скалярное произведение векторов AB и i равно произведению соответствующих координат векторов:
AB · i = 3*1 + 2*0 + (-4)*0 = 3.

Тогда, подставив значения в формулу, получаем:
cosθ = 3 / (√29 * 1) = 3 / √29.

Перейдем к задаче 9.

Даны векторы a=(3,-1,2) и b=(-2,4,1). Найдем смешанное произведение векторов a, b и вектора i. Сначала найдем векторное произведение между векторами a и b:
a × b = (2*4 - (-1)*1, 2*1 - 3*4, 3*(-2) - (-1)*(-2)) = (9, -10, -4).

Теперь найдем скалярное произведение вектора a × b и вектора i:
(a × b) · i = 9*1 + (-10)*0 + (-4)*0 = 9.

Смешанное произведение векторов a, b и вектора i равно скалярному произведению вектора a × b и вектора i. В результате получаем:
(a × b) · i = 9.

Перейдем к задаче 13.

Даны векторы a=(2,-1,3) и b=(4,0,5). Найдем проекцию вектора a на вектор b. Проекция вектора a на вектор b вычисляется следующим образом:
прoj = (a · b / |b|) * (b / |b|),
где a · b - скалярное произведение векторов a и b, |b| - модуль вектора b.

Сначала посчитаем скалярное произведение векторов a и b:
a · b = 2*4 + (-1)*0 + 3*5 = 8 + 0 + 15 = 23.

Теперь вычислим модуль вектора b:
|b| = √(4^2 + 0^2 + 5^2) = √(16 + 0 + 25) = √41.

Далее, подставим значения в формулу для проекции:
прoj = (23 / √41) * (4/√41, 0/√41, 5/√41).

Таким образом, мы получаем проекцию вектора a на вектор b.

И наконец, перейдем к задаче 14.

Даны векторы a=(2,1,-3) и b=(3,-4,2). Найдем угол между векторами a и b. Угол между двумя векторами a и b вычисляется следующим образом:
cosθ = (a · b) / (|a| |b|),
где θ - угол между векторами a и b, a · b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - модули векторов a и b.

Сначала вычисляем скалярное произведение векторов a и b:
a · b = 2*3 + 1*(-4) + (-3)*2 = 6 - 4 - 6 = -4.

Также найдем модули векторов a и b:
|a| = √(2^2 + 1^2 + (-3)^2) = √(4 + 1 + 9) = √14,
|b| = √(3^2 + (-4)^2 + 2^2) = √(9 + 16 + 4) = √29.

Теперь подставляем значения в формулу для cosθ и получаем:
cosθ = (-4) / (√14 * √29).

Таким образом, мы нашли косинус угла между векторами a и b. Для нахождения самого угла можно взять арккосинус от значения cosθ.