Контрольная работа: Легкие примеры по дифференциальным уравнениям и математической физике

Один из простых примеров по дифференциальным уравнениям: найдем общее решение уравнения dy/dx = 2x. Решение: Интегрируем обе стороны уравнения по x, получаем y = x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Другой пример: решим уравнение dy/dx = x/y. Умножим обе стороны на y и разделим на x: ydy = xdx. Интегрируем полученное уравнение и находим общее решение: y^2/2 = x^2/2 + C, где C - произвольная постоянная.

Перейдем к примеру по математической физике: рассмотрим уравнение теплопроводности Ut = kUxx, где U(x,t) - функция температуры, k - коэффициент теплопроводности. Найдем решение этого уравнения методом разделения переменных.

Еще один пример: волновое уравнение Ut = c^2Uxx. Решим это уравнение при заданных начальных условиях: заданной форме волны и начальной скорости.

Третий пример по математической физике: уравнение Шредингера для свободной частицы iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m ∇^2Ψ. Найдем решение этого уравнения для плоской волны.

Такие легкие примеры помогут лучше освоить материал по дифференциальным уравнениям и математической физике. Они дадут представление о том, как применять теорию на практике и как решать задачи. Важно помнить, что каждая задача требует тщательного анализа и применения соответствующих методов решения.