Решение задач: Интегралы

Для решения данных интегралов, мы воспользуемся методами замены переменной и интегрирования по частям. Давайте последовательно решим каждый из предложенных 10 интегралов с подробными пошаговыми действиями.

Интеграл а: ∫(x^2 + 1)dx
Применим метод замены переменной. Пусть u = x^2 + 1, тогда x^2 = u - 1. Дифференцируем обе части по x и получим 2xdx = du. Заменим xdx в исходном интеграле: ∫(x^2 + 1)dx = ∫u du/(2x) = ∫(u/2)du = (1/2)∫udu. Таким образом, интеграл а равен (1/2) * (u^2 / 2) + C = u^2 / 4 + C = (x^2 + 1)^2 / 4 + C.

Интеграл б: ∫(cos^2 x)dx
В данном случае также можно использовать метод замены переменной. Положим u = sin x, тогда du = cos x dx. Заменим dx в исходном интеграле: ∫(cos^2 x)dx = ∫(1 - sin^2 x)dx = ∫(1 - u^2)du. Теперь интегрируем∫(1 - u^2)du по переменной u: u - (u^3 / 3) + C = sin x - (sin^3 x) / 3 + C.

Интеграл в: ∫(x * exp(x^2))dx
Для данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = x^2, тогда du = 2xdx. Заменим dx в исходном интеграле: ∫(x * exp(x^2))dx = (1/2)∫exp(u)du. Теперь проинтегрируем ∫exp(u)du по переменной u: (1/2)*exp(u) + C = (1/2)*exp(x^2) + C.

Интеграл г: ∫(x * sin(x^2))dx
Используем метод замены переменной. Положим u = x^2, тогда du = 2xdx. Заменим dx в исходном интеграле: ∫(x * sin(x^2))dx = (1/2)∫sin(u)du. Интегрируем (1/2)∫sin(u)du по переменной u: -(1/2)cos(u) + C = -(1/2)cos(x^2) + C.

Интеграл д: ∫(x^3 * sqrt(1 - x^2))dx
Для данного интеграла также воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = 1 - x^2, тогда du = -2xdx. Заменим xdx в исходном интеграле: ∫(x^3 * sqrt(1 - x^2))dx = -(1/2)∫u^(3/2)du. Интегрируем ∫u^(3/2)du по переменной u: -(1/2)(2/5)u^(5/2) + C = -(1/5)(1 - x^2)^(5/2) + C.

Интеграл ж: ∫(1 / (x * ln^2 x))dx
Для решения данного интеграла воспользуемся интегрированием по частям. Выберем u = 1/ln x, dv = dx/x. Находим du и v, дифференцируя выбранные функции: du = (-1/ln^2 x)dx, v = ln x. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫(1 / (x * ln^2 x))dx = u * v - ∫v * du = (ln x) / ln x - ∫ln x * (-1/ln^2 x)dx. Последний интеграл можно упростить: ∫ln x * (-1/ln^2 x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x| + C.

Интеграл з: ∫(x * cos^2 x)dx
В этом случае также применим интегрирование методом замены переменной. Положим u = sin x, тогда du = cos x dx. Заменим dx в исходном интеграле: ∫(x * cos^2 x)dx = ∫(x * (1 - sin^2 x))dx = ∫(x - x * sin^2 x)dx = ∫(x - x * u^2)du. Интегрируем ∫(x - x * u^2)du по переменной u: (1/3)x^3 - (1/3)x^3 * sin^2 x + C.

Интеграл и: ∫(exp(x) / (1 + exp(2x)))dx
Для решения данного интеграла воспользуемся интегрированием методом замены переменной. Положим u = exp(x), тогда du = exp(x)dx. Заменим exp(x)dx в исходном интеграле: ∫(exp(x) / (1 + exp(2x)))dx = ∫(1 / (u * (1 + u^2)))du. Интегрируем ∫(1 / (u * (1 + u^2)))du по переменной u: (1/2)ln|u| - (1/4)ln|1 + u^2| + C = (1/2)ln|exp(x)| - (1/4)ln|1 + exp(2x)| + C = (1/2)x - (1/4)ln|1 + exp(2x)| + C.

Интеграл к: ∫(sin^2 x * cos^2 x)dx
Также в данном случае применим интегрирование методом замены переменной. Положим u = sin x, тогда du = cos x dx. Заменим dx в исходном интеграле: ∫(sin^2 x * cos^2 x)dx = ∫(u^2 * (1 - u^2))du. Интегрируем ∫(u^2 * (1 - u^2))du по переменной u: (1/5)u^5 - (1/3)u^3 + C = (1/5)sin^5 x - (1/3)sin^3 x + C.

Интеграл л: ∫(ln(5x) / x)dx
Для решения последнего из предложенных интегралов воспользуемся интегрированием по частям. Выберем u = ln(5x), dv = dx/x. Находим du и v, дифференцируя исходные функции: du = (1/x)dx, v = ln x. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫(ln(5x) / x)dx = u * v - ∫v * du = ln(5x) * ln x - ∫ln x * (1/x)dx. Последний интеграл можно упростить: ∫ln x * (1/x)dx = (1/2)(ln x)^2 + C.

Таким образом, мы успешно решили предложенные 10 интегралов, применяя методы замены переменной и интегрирования по частям.