Решение задач: марковские случайные процессы

Марковские случайные процессы являются важным инструментом в теории вероятностей и статистике. Они описывают эволюцию системы, состояния которой могут меняться с течением времени. Одной из основных характеристик марковских процессов является переходная матрица вероятностей, которая показывает вероятности перехода из одного состояния в другое за один шаг.

Для заданного графа состояний марковской цепи необходимо написать переходную матрицу вероятностей. Переходная матрица представляет собой квадратную матрицу, где элемент на пересечении i-ой строки и j-го столбца обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j. Каждая строка матрицы должна быть нормирована, то есть сумма вероятностей всех переходов из данного состояния должна равняться единице.

Пусть дан граф состояний марковской цепи, где состояния обозначены как P1, P2, P3 и P4. Запишем переходную матрицу вероятностей:
P =
0.2 0.3 0.4 0.1
0.5 0.1 0.2 0.2
0.1 0.2 0.3 0.4
0.3 0.4 0.1 0.2

Теперь, имея начальное распределение вероятностей P1(0) = 1, P2(0) = P3(0) = P4(0), мы можем найти наиболее вероятное состояние на третьем шаге. Для этого нужно найти вектор вероятностей на третьем шаге P(3) путем умножения начального распределения на матрицу переходных вероятностей:
P(3) = P(0) * P^3

После умножения получим вектор вероятностей P(3) = (0.251, 0.265, 0.262, 0.222). Наиболее вероятное состояние будет P2, так как оно имеет наибольшую вероятность 0.265.

Следующим шагом является нахождение предельных (финальных) вероятностей состояний цепи. Предельная вероятность состояния i (P(i)) определяется как вероятность нахождения системы в этом состоянии после бесконечного количества шагов. Для нахождения предельных вероятностей можно использовать метод стационарных уравнений.

P(i) = lim P(0) * P^k, где k -> ∞

Путем решения уравнения получим вектор предельных вероятностей P = (0.222, 0.279, 0.282, 0.216).

Таким образом, мы рассмотрели задачу нахождения переходной матрицы вероятностей для заданного графа состояний марковской цепи, а также найдем наиболее вероятное состояние на третьем шаге и предельные вероятности состояний цепи. Эти результаты позволяют нам более точно прогнозировать поведение системы в долгосрочной перспективе.