Курсовая работа: Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами

В рамках исследования поставлена задача разработки программы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием однокроковых методов. Эти методы занимают важное место в численном решении дифференциальных уравнений, так как они обеспечивают относительно простую и понятную структуру для вычислений. В программе реализованы такие популярные алгоритмы, как метод Эйлера и метод Рунге-Кутты первого и второго порядков.

Основой работы является теоретический анализ данных методов, их основные свойства, ограничения и области применения. Метод Эйлера, будучи простым в реализации, позволяет получить приблизительное решение, которое может быть улучшено за счет увеличения шага интегрирования. Упрощенная формула делает его подходящим для первой оценки поведения решения, хотя для получения высокой точности потребуется значительно уменьшить шаг.

Методы Рунге-Кутты, в свою очередь, позволяют повысить точность решения без значительного увеличения вычислительных затрат. В программе реализованы как простейший метод Рунге-Кутты, так и более сложные схемы, что дает пользователю возможность выбора в зависимости от желаемой точности и требований к вычислительным ресурсам.

Интерфейс программы позволяет пользователю вводить начальные условия и параметры уравнения, после чего происходит автоматический расчет. Результаты решения визуализируются в виде графиков, что значительно упрощает анализ поведения решений. Также предусмотрена возможность сохранения результатов в формате, удобном для дальнейшей обработки.

Для оценки эффективности методов проведены тесты на ряде стандартных задач, что позволило проверить не только точность, но и устойчивость алгоритмов при различных значениях шага интегрирования. Результаты тестирования подтверждают, что предложенные методы позволяют достичь удовлетворительной точности решения при разумных затратах времени и ресурсов. В заключении выделены основные выводы и рекомендации по выбору методов для решения различных классов дифференциальных уравнений.