Курсовая работа: Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

В процессе изучения численных методов решения систем линейных уравнений важным направлением является использование метода исключения, основанного на алгоритме Гаусса. Этот метод позволяет эффективно находить решение линейной системы, обеспечивая высокую точность. Одним из ключевых аспектов алгоритма является выбор главного элемента по столбцу, что существенно повышает устойчивость решения и уменьшает влияние ошибок округления.

Изначально система записывается в матричной форме, где строки представляют уравнения, а столбцы — коэффициенты переменных. Применяя метод Гаусса, задача сводится к приведению матрицы к верхнетреугольному виду. Выбор главного элемента производится с целью работы с максимально возможным по модулю коэффициентом в текущем столбце, что позволяет избежать деления на маленькие числа, что может привести к численным ошибкам.

Процесс начинается с поиска максимального элемента в каждом столбце. После нахождения главного элемента строки, содержащие его, могут быть переставлены. Это уменьшает вероятность возникновения ситуаций, когда на этапе исключения происходит деление на очень маленькие значения, обеспечивая лучшую численную стабильность. Устранение переменных выполняется поэтапно: низшие строки приводятся к нулю путём вычитания кратных верхних строк.

По завершении приведения к верхнетреугольной форме система может быть легко решена методом обратной подстановки. Каждый уровень уравнения позволяет найти значение переменной, начиная с самой нижней строки и поднимаясь вверх. Это позволяет минимизировать артефакты округления, что является важным аспектом при работе с числовыми методами.

Эффективность такого подхода может быть проиллюстрирована различными примерами, где система имеет разные размеры и условия. Применение метода с выбором главного элемента подходит как для небольших, так и для больших систем, что делает его универсальным инструментом в численных расчетах. Результаты, полученные при использовании данного метода, являются надежными и могут быть использованы в различных областях науки и техники, где возникают задачи, требующие решения линейных систем уравнений.