Курсовая работа: Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона–Канторовича

Величезна роль систем нелінійних рівнянь у різних галузях науки та техніки обумовлює необхідність пошуку ефективних методів їх розв'язання. Одним із найвідоміших підходів, що використовуються для цієї мети, є ітераційний метод, який базується на простому принципі наближення розв'язків через повторення певних обчислень. Основна ідея полягає в тому, щоб знайти таке початкове значення, яке буде близьким до істинного розв’язку, а далі, використовуючи функцію, що описує систему, поступово уточнювати це значення.

Метод Ньютона–Канторовича, в свою чергу, є потужним ро­злом для розв'язан­ня систем нелінійних рівнянь. Він ґрунтується на використанні похідних функцій для оцінки зміни розв'язків. За допомогою цього методу можна отримати швидке збіжність до точного розв’язку. Спочатку обираємо початкове значення, далі в обчисленнях враховуємо як функції, так і їх похідні, що дозволяє формулювати нові наближення.

Перевага методу Ньютона–Канторовича полягає у його квадратичній збіжності, що означає, що кількість правильних знаків у нашому розв’язку подвоюється з кожною ітерацією за умови близькості до реального розв’язку. Однак важливо зазначити, що для успішного застосування цього методу необхідно, щоб система нелінійних рівнянь задовольняла певні умови, зокрема, щоб функції були неперервними і мали неперервні похідні в обчислювальному районі.

Таким чином, ітераційні методи, зокрема метод Ньютона–Канторовича, стають незамінними інструментами для математичного моделювання і аналізу складних систем, що відкриває нові горизонти у вирішенні практичних завдань у різних сферах діяльності. Високий рівень ефективності цих підходів підкреслює важливість подальшого їх вивчення та вдосконалення.