Курсовая работа: Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

Вивчення збіжності рішень диференціальних рівнянь у частинних похідних є важливим аспектом математичного аналізу та чисельних методів. Одним із найпоширеніших підходів до розв'язування таких рівнянь є метод сіток, який дозволяє дискретизувати просторову область та знайти чисельні наближення. Основною метою дослідження є оцінка збіжності чисельних рішень до аналітичних розв'язків, що забезпечує якість та точність обчислень.

Процес сіткової апроксимації передбачає розбиття області на невеликі комірки (сітки), у яких замінюються похідні на скінченні різниці. При цьому важливо враховувати вибір метода дискретизації, умови на межах, а також характеристику самих рівнянь. Збіжність рішення означає, що з підвищенням роздільної здатності сітки чисельні значення наближаються до точного розв'язку. У дослідженні використано методи, такі як методи кінцевих різниць, скінченних елементів та об'ємних методів, для аналізу різних класів задач.

Для вивчення збіжності застосовуються різноманітні критерії. Зокрема, важливо порівнювати числові рішення з відомими аналітичними розв'язками, а також оцінювати помилки, що виникають при різних параметрах сітки. Експериментальні дані свідчать, що зі зменшенням розміру комірок, схоже, досягається зменшення помилок, однак важливо також враховувати обчислювальні витрати.

Здійснено аналіз впливу окремих факторів на збіжність рішень, таких як крок сітки та характер початкових умов. Результати експериментів підтверджують необхідність обачності при виборі сітки та вказують на особливості поведінки рішень у залежності від конкретного диференціального рівняння. Отримані висновки можуть бути корисними для подальших досліджень у сфері чисельного моделювання та математичної фізики, зокрема для вдосконалення існуючих алгоритмів та розробки нових методів.