Курсовая работа: Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

Розв'язання задачі Коші є важливим аспектом вивчення звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера, як один з найпростіших чисельних методів, дозволяє наближено вирішувати такі задачі. Суть методу полягає в тому, щоб побудувати послідовність наближених значень розв'язку за допомогою заданого початкового значення та значення похідної в цій точці.

Задано звичайне диференціальне рівняння першого порядку, яке має вигляд dy/dx = f(x, y), з початковою умовою y(x0) = y0. Метод починається зі значення x0, з яким співвідносимо y0. На кожному кроці обчислюється нове значення y, використовуючи формулу: y_(n+1) = y_n + h * f(x_n, y_n), де h — крок ділення, f(x_n, y_n) — значення функції на попередньому кроці.

Обравши значення кроку h, здійснюється розбивка інтервалу на частини, що дозволяє точно врахувати зміни функції. Чим менше значення h, тим більша точність наближення, проте це також вимагає більше обчислювальних ресурсів. Використовуючи сучасні обчислювальні засоби, можна перевірити, наскільки точно результати методу відповідають аналітичному розв'язку, якщо такий існує.

Попри свою простоту, метод Ейлера має свої недоліки, зокрема, він не завжди забезпечує необхідну коректність при великих значеннях t або при наявності швидко змінюваних функцій. Це може призводити до значних похибок, зокрема, якщо крок h не обирається оптимально.

Проте метод є прекрасним стартовим етапом у вивченні чисельних методів, оскільки дозволяє зрозуміти основи побудови чисельних алгоритмів. Його можна розширити, переходячи до більш складних методів, таких як метод Рунге-Кути, що пропонує кращу точність та стійкість у розв'язанні задач Коші. Таким чином, апроксимація розв'язків диференціальних рівнянь методом Ейлера служить основою для подальшого застосування більш досконалих чисельних методів.