Курсовая работа: Дослідження методу ортогоналізації й методу сполучених градієнтів

В рамках данной работы проведено исследование двух ключевых методов, широко применяемых в численных задачах линейной алгебры и оптимизации. Первый метод — ортогонализация, который играет важную роль в решении систем линейных уравнений и задаче оптимизации, обеспечивая численную стабильность и уменьшение размера проблемы за счет проекции на подпространства. Особенно важной является процедура Грама-Шмидта, позволяющая получать ортогональные векторы из заданного набора линейно независимых векторов, что обеспечивает упрощение вычислений и улучшение сходимости алгоритмов.

Второй метод, основанный на сполучених градієнтів, используется для нахождения минимальных значений функций. Этот алгоритм становится особо эффективным при работе с большими и разреженными системами, где другие методы могут быть неэффективны. Он основывается на итеративной процедуре, которая использует градиенты для нахождения направления спуска и последующего улучшения текущего приближения к минимальному значению. Одной из главных особенностей этого метода является возможность его адаптации для различных типов функционалов и ограничений, что делает его универсальным инструментом в оптимизации.

Сравнение эффективности обоих методов проводится на ряде тестовых задач, включая как условные, так и неусловные задачи. Результаты анализа показывают, что метод ортогонализации обеспечивает устойчивость алгоритмов при вычислениях, в то время как метод сполучених градієнтів демонстрирует высокую скорость сходимости, особенно в случае гладких функций. В заключение, интеграция обоих подходов может привести к значительному улучшению качественных характеристик решений, что открывает новые направления для будущих исследований в области численных методов и их применения.