Магистерская диссертация на тему: Гармонические колебания. Затухающие колебания. Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

Введение

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть означает удлинение пружины в данный момент, а ст-статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда =ст+х, или -ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=mа, где m=Р/g-масса груза а-ускорение движения и F-равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-с, где с - постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то Р= сст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим -ст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через к2,

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

Если положить

то

График гармонических колебаний имеет вид:

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент - фазой колебания. Значение фазы при t=о т.е. величина , называется начальной фазой колебания. Величина есть частота колебания. Период колебания и частота к зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/ст = mg/ст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость =0. Тогда , откуда

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза =/2 и, таким образом,

или

Оглавление

- Затухающие колебания

- Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

- Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды