Решение задач: Решение задач по теме теории Вероятности

Теория вероятности – одна из фундаментальных областей математики, изучающая случайные явления и их закономерности. Она находит широкое применение в различных науках, включая физику, экономику, статистику, информатику и другие. Давайте решим три задания по теории вероятности.

1. Задача о выборке из урны:
В урне находится 5 шаров: 3 синих и 2 желтых. Из урны вытаскиваются два шара последовательно, без возвращения. Найти вероятность события А, состоящего в том, что оба шара окажутся синими.

Перед нами стоит задача определить вероятность того, что при двух последовательных извлечениях из урны, оба шара окажутся синими. Для начала посчитаем общее количество исходов такой эксперимента. В данном случае, перед нами стоит задача выборки без возвращения, поэтому общее количество исходов будет равно количеству сочетаний 2 по 5 шарам. То есть, общее количество исходов будет равно C(5, 2) = 10.

Теперь определим количество благоприятных исходов, то есть количество способов, при которых оба извлеченных шара окажутся синими. Так как изначально синих шаров 3, а на первом месте может быть выбран любой из них, а на втором – только один из оставшихся синих шаров, количество благоприятных исходов будет равно 3.

Таким образом, искомая вероятность P(A) будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: P(A) = 3/10.

2. Задача о двух независимых испытаниях:
Вероятность события A в первом испытании равна 0,3, а вероятность события B во втором испытании равна 0,2. Найти вероятность события C, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B.

Чтобы найти вероятность события C, необходимо определить вероятность, что произойдет хотя бы одно из событий A или B. Найдем вероятность события, которое противоположно событию C, то есть вероятность того, что не произойдет ни событие A, ни событие B.

Вероятность, что не произойдет событие A, равна 1 - P(A), то есть 1 - 0,3 = 0,7.
Аналогично, вероятность, что не произойдет событие B, равна 1 - P(B), то есть 1 - 0,2 = 0,8.

Так как события A и B независимы, вероятность того, что не произойдет ни событие A, ни событие B, равна произведению вероятностей P(A) и P(B), то есть 0,7 * 0,8 = 0,56.

Теперь остается найти вероятность события C, противоположного событию, что не произойдет ни A, ни B, то есть 1 - 0,56 = 0,44.

Таким образом, искомая вероятность P(C) будет равна 0,44.

3. Задача о случайной величине:
Вероятность того, что на стандартную игральную кость выпадет число, кратное 3, равна 1/3. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины, умноженное на ее вероятность. В данной задаче имеется 6 возможных исходов при броске кости, из которых число, кратное 3, может выпасть в двух случаях: 3 и 6.

Таким образом, для нахождения математического ожидания, необходимо умножить значения сложившихся случайных величин (3 и 6) на их вероятность, и сложить эти произведения.

M(X) = (3