Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Решение систем дифференциальных уравнений играет важную роль в математическом моделировании различных процессов в науке и технике. Одним из эффективных инструментов для численного интегрирования таких систем является неявная схема Адамса 3-го порядка. Эта методика отличается высокой точностью и стабильностью, что делает её особенно полезной при работе с жесткими дифференциальными уравнениями.

Суть метода Адамса заключается в использовании последовательных приближений. На каждом шаге вычисляется значение функции на основе значений, полученных на предыдущих шагах. Неявная схема требует решения системы линейных уравнений, что обеспечивает большую стабильность метода, особенно при малых шагах интегрирования. Этот подход позволяет избежать проблем, связанных с увеличением погрешности при использовании явных схем, что важно при наличии жестких уравнений.

Алгоритм работы включает в себя начальную фазу, где задаются начальные условия и рассчитываются первые значения функций с помощью метода Эйлера или другой явной схемы. Далее, используя уже найденные значения, осуществляется итеративное решение для последующих точек. Для этого применяется метод Ньютона, что позволяет находить корни нелинейных уравнений, возникающих при неявном использовании предшествующих значений.

Применение неявной схемы Адамса 3-го порядка дает возможность значительно повышать точность решений, что делает её востребованной в различных областях, таких как физика, инженерия, экономика и многих других. Введение в методологии и алгоритмы, используемые в этой технике, открывает новые горизонты для исследования и расширяет арсенал численных методов. В дальнейшем изучение данной темы может привести к более глубокому пониманию поведения сложных систем и их уравнений, что важно для успешного решения практических задач.