Курсовая работа: Межа послідовності. Теорема Штольца

Изучение пределов последовательностей является важной темой в математическом анализе, позволяющей глубже понять поведение числовых рядов и функций. Одним из инструментов, который помогает установить наличие предела у последовательностей, является теорема Штольца. Эта теорема служит мощным дополнением к принципу предельного перехода и позволяет устанавливать предельные значения более сложных последовательностей через более простые.

Теорема Штольца утверждает, что если две последовательности \( a_n \) и \( b_n \) возрастают и \( b_n \) стремится к бесконечности, то предел отношения \( \frac{a_n}{b_n} \) можно найти, анализируя предел частных производных: \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\). Если этот предел существует и равен \( L \), то и первоначальное отношение также стремится к этому значению \( L \).

Эта теорема может быть особенно полезной в тех случаях, когда прямые методы вычисления предела не работают. Например, если мы имеем дело с последовательностью \( a_n = n^2 \) и \( b_n = n \), то напрямую вычислить предел \( \frac{a_n}{b_n} \) трудно из-за роста обеих последовательностей. Однако, применяя теорему Штольца, можно успешно найти предел их отношения, что значительно облегчает анализ.

Применение теоремы Штольца находит отклик в различных областях математики, включая анализ несобственных интегралов и асимптотическое поведение функций. Являясь инструментом, позволяющим решать сложные пределы, она открывает новые горизонты в понимании границ и свойств математических объектов. Овладение данным подходом развивает аналитическое мышление и помогает вырабатывать навыки работы с выбирками, необходимыми для более глубокого погружения в теорию последовательностей и функций.