Курсовая работа: Исследование метода простой итерации и метода Ньютона для решения систем двух нелинейных алгебраических уравнений

В последние годы растет интерес к методам численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений, что связано с их широким применением в различных научных и инженерных задачах. Одними из наиболее популярных методов являются метод простой итерации и метод Ньютона. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки, которые необходимо учитывать при выборе алгоритма решения.

Метод простой итерации основывается на преобразовании исходных уравнений к итерационной схеме, что позволяет последовательно приближаться к решению. Он прост в реализации и не требует вычисления производных, однако его сходимость может быть проблематичной, особенно в окрестностях сложных областей или при наличии слабосогласованных систем. Необходимой условием сходимости является выполнение условия Липшица для итерационной функции.

С другой стороны, метод Ньютона использует информацию о производных, что значительно ускоряет процесс нахождения решения. Его основные преимущества заключаются в квадратичной скорости сходимости при нахождении корней и высокой точности. Тем не менее, метод требует вычисления якобиана и решения системы линейных уравнений на каждом шаге итерации, что может быть вычислительно затратным и сложным для реализации, особенно для больших систем.

Сравнение данных методов включает в себя анализ их сходимости, устойчивости к ошибкам и скорости работы. При решении тестовых задач на численных примерах были проанализированы показатели, такие как количество итераций до достижения заданной точности и время вычисления. Эксперименты показали, что метод Ньютона значительно превосходит метод простой итерации в случаях, где функция имеет хорошо определенные производные и не содержит особенностей.

Тем не менее, в некоторых ситуациях, когда производные трудно определить или вычислительно затруднительны, метод простой итерации может оказаться более эффективным вариантом. Результаты исследования позволяют сделать вывод о целесообразности применения обоих методов в зависимости от конкретных условий задачи, подчеркивая важность выбора подхода на этапе предварительного анализа. Ключевым аспектом остается способность исследовать различные условия и выбирать наилучший метод для достижения точного и быстрого решения.