Курсовая работа: Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом хорд

При решении нелинейных уравнений особое внимание уделяется численным методам, способным находить корни уравнений, не имея аналитических решений. В практике часто встречаются такие методы, как метод простой итерации и метод хорд, которые позволяют эффективно находить приближенные значения корней при заданных условиях.

Метод простой итерации основывается на преобразовании заданного уравнения в форму x = g(x), где g(x) — это непрерывная функция. Важным аспектом этого метода является выбор начального приближения, поскольку от него зависит сходимость. Процесс итерации заключается в последовательном подставлении предыдущего значения в функцию g, что приводит к новой итерации, пока не будет достигнута необходимая точность. Этот метод прост в реализации, однако его эффективность может снижаться при плохом выборе функции g или начального приближения.

Метод хорд, в отличие от метода простой итерации, использует линейные приближения кривой в окрестности искомого корня. Чаще всего применяется для нахождения пересечения с осью абсцисс. Начальное приближение выбирается двумя точками, что позволяет сразу задать отрезок, на котором будет находиться корень. Метод строит секущую, то есть линию, соединяющую два заданных значения функции, и использует её пересечение с осью абсцисс, чтобы получить новое приближение корня. Этот процесс повторяется до достижения заданной точности. Метод хорд, как правило, быстрее сходится по сравнению с методом простой итерации и может быть более устойчивым при правильном выборе начальных значений.

Несмотря на различия, оба метода находят широкое применение в прикладных задачах, включая задачи физики, экономики, инженерии и многих других областей. Выбор того или иного метода зависит от специфики задачи, требуемой точности и доступной вычислительной мощности. Эффективная реализация алгоритмов позволяет решать сложные проблемы, которые не поддаются аналитическому решению, и способствует дальнейшему развитию численных методов в научных и прикладных исследованиях.