Курсовая работа: Приблизительное решение нелинейного уравнения (метод касательных)

В процессе исследования численных методов решения нелинейных уравнений одним из распространенных подходов является метод касательных, также известный как метод Ньютона. Основная идея этого метода заключается в использовании касательной линии к графику функции для нахождения нуля (корня) уравнения. Метод начинается с выбора начального приближения, которое должно быть достаточно близко к искомому корню. Это важно, так как метод может не сойтись к решению, если начальная точка выбрана неправильно.

Алгоритм работы метода заключается в последовательном применении формулы: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n), где f(x) — это функция, для которой необходимо найти корень, а f'(x) — ее производная. На каждой итерации вычисляется новое приближение, которое должно приближать действительное значение корня. Процесс продолжается до тех пор, пока разность между последовательными приближениями не станет меньше заранее заданной точности.

Метод касательных имеет ряд преимуществ, таких как скорость сходимости, особенно если начальная точка выбрана удачно. Обычно сходимость этого метода является квадратичной, то есть, если приближение попадает в окрестность корня, то количество правильных цифр увеличивается в два раза на каждой итерации. Однако есть и недостатки — метод требует вычисления производной, и если производная в точке близка к нулю, это может привести к проблемам с сходимостью. Кроме того, метод не всегда работает для функций, имеющих несколько корней или для тех, где графики функций пересекаются под большим углом.

В ходе анализа применения метода касательных были рассмотрены различные примеры, что помогло более глубоко понять его эффективность и ограничения. Для проверки стабильности и точности полученных результатов использовались численные тесты на различных функциях, демонстрирующих как положительные, так и отрицательные аспекты данного метода. В итоге, несмотря на наличие альтернатив, метод остается важным инструментом в арсенале численных методов решения нелинейных уравнений благодаря своей простоте и эффективности в определённых условиях.