Решение задач: пределы, производные

Для начала, рассмотрим функцию z = ½ y2 – x2y. Для нахождения производных посчитаем каждую из них по отдельности.

Найдем z//yx, производную функции z по y с фиксированном х. Для этого нужно продифференцировать каждый член функции по y, считая, что х - постоянная:

(z//yx) = 2y - x2

Далее, найдем z//yy, производную функции z по y (полную производную):
(z//yy) = 2

Теперь рассмотрим z//xy, производную функции z по x с фиксированным y:
(z//xy) = -2xy

И, наконец, найдем z//xx, производную функции z по x (полную производную):
(z//xx) = 0

Теперь перейдем к уравнениям линий уровня функции f(x; y) = c при c = 0 и c = 1. Уравнение линий уровня задается так: f(x; y) = c, где c - постоянная.

Для c = 0:
0 = ½ y2 – x2y
0 = 2y - x2

Можно заметить, что полученная система уравнений задает параболу вида 2y = x2.

Для c = 1:
1 = ½ y2 – x2y
1 = 2y - x2

Также получаем систему уравнений, но в данном случае это гипербола.

Теперь перейдем к нахождению градиента функции z в точке M0 (-1; 3). Градиент функции z задается формулой: grad z = (z//x; z//y).

Подставляем координаты точки M0 (-1; 3) в выражения для производных:
z//x = 0
z//y = 6

Таким образом, градиент функции z в точке M0 (-1; 3) равен (0; 6).

В итоге, мы нашли производные функции z = ½ y2 – x2y относительно переменных x и y: z//yx = 2y - x2, z//yy = 2, z//xy = -2xy, z//xx = 0. Также нашли уравнения линий уровня при c = 0 и c = 1: 2y = x2 и 2y - x2 = 1. И, наконец, нашли градиент функции z в точке M0 (-1; 3): (0; 6).